On peut donc appliquer le résultat de la première question à DS D.
Ainsi, l'inégalité de la première question appliquée à DS D donne :
det(DS D)
tr(DS D)
n
n
.
Comme tr(DS D) = n le membre de droite est égal à 1 et l'inégalité se
réduit donc à
1
a 11 · · · a nn
det(S) 1.
Comme tous les a ii sont strictements positifs ont peut multiplier les deux
membres de l'inégalité par a 11 · · · a nn sans en modifier le sens et il vient
finalement :
det(S) a 11 · · · a nn .
Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice positive
Soit S une matrice réelle symétrique positive d'ordre n.
1. Démontrer qu'il existe une matrice réelle symétrique positive T telle que
T 2 = S.
2. Démontrer que cette matrice T est unique. On pourra comparer les sousespaces propres des endomorphismes de R n canoniquement associés à S et à T.
1. Le résultat est clair si S est diagonale : ses coefficients diagonaux sont alors ses
valeurs propres, qui sont positives car S est positive, et il suffit de prendre pour T
la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines carrées de ceux
de S (c'est ici qu'intervient la positivité). La matrice T ainsi obtenue vérifie bien
T 2 = S et est également symétrique (car diagonale) et positive (car, étant diagonale,
ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux et ils sont ici par définition positifs).
Il reste à adapter ceci au cas général en utilisant le théorème de réduction des
matrices symétriques.
S étant symétrique réelle, il existe une matrice diagonale D et une matrice
orthogonale P telles que P −1 S P = D.
De plus, les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de S donc
sont positifs.
Soit E la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines
carrées de ceux de D. On a, en posant T = P E P −1 :
T
2
= P E
2 P
−1
= P D P
−1
= S.
86
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
Ainsi, l'inégalité de la première question appliquée à DS D donne :
det(DS D)
tr(DS D)
n
n
.
Comme tr(DS D) = n le membre de droite est égal à 1 et l'inégalité se
réduit donc à
1
a 11 · · · a nn
det(S) 1.
Comme tous les a ii sont strictements positifs ont peut multiplier les deux
membres de l'inégalité par a 11 · · · a nn sans en modifier le sens et il vient
finalement :
det(S) a 11 · · · a nn .
Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice positive
Soit S une matrice réelle symétrique positive d'ordre n.
1. Démontrer qu'il existe une matrice réelle symétrique positive T telle que
T 2 = S.
2. Démontrer que cette matrice T est unique. On pourra comparer les sousespaces propres des endomorphismes de R n canoniquement associés à S et à T.
1. Le résultat est clair si S est diagonale : ses coefficients diagonaux sont alors ses
valeurs propres, qui sont positives car S est positive, et il suffit de prendre pour T
la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines carrées de ceux
de S (c'est ici qu'intervient la positivité). La matrice T ainsi obtenue vérifie bien
T 2 = S et est également symétrique (car diagonale) et positive (car, étant diagonale,
ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux et ils sont ici par définition positifs).
Il reste à adapter ceci au cas général en utilisant le théorème de réduction des
matrices symétriques.
S étant symétrique réelle, il existe une matrice diagonale D et une matrice
orthogonale P telles que P −1 S P = D.
De plus, les coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de S donc
sont positifs.
Soit E la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines
carrées de ceux de D. On a, en posant T = P E P −1 :
T
2
= P E
2 P
−1
= P D P
−1
= S.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire