Si M est une matrice carrée, DM est obtenue en multipliant, pour chaque i, la i-ème
ligne de S par le i-ème coefficient diagonal de D. De même, M D est obtenue en
multipliant, pour chaque i, la i-ème colonne de S par le i-ème coefficient diagonal
de D.
Soit i ∈ {1,. . . ,n}. La i-ème ligne de DS est la i-ème ligne de S multipliée
par le i-ème coefficient diagonal de D, i.e. par a
−1/2
ii
; en particulier, le
i-ème coefficient diagonal de DS est a
1/2
ii .
De même, la i-ème colonne de DS D est celle de DS multipliée par le
i-ème coefficient diagonal de D ; le i-ème coefficient diagonal de DS D est
donc 1.
La trace de DS D étant la somme de ses coefficients diagonaux il vient
tr(DS D) = n .
4. Le temps est visiblement venu d'utiliser l'inégalité de la première question, la
troisième question suggérant d'utiliser cette inégalité avec DS D à la place de S. En
effet, si on replace S par DS D dans la première inégalité, on retrouvera det(S) et
les a ii dans le membre de gauche, le membre de droite se réduisant à 1.
Il ne s'agit pas de simplement remplacer S par DS D dans l'inégalité... Encore
faut-il vérifier que DS D est symétrique définie positive !
Comme souvent, il s'agit d'une vérification de routine de la définition, l'idée étant
de se ramener au fait que S elle-même est symétrique définie positive.
Vérifions que DS D est une matrice symétrique réelle définie positive.
i) DS D est à coefficients réels car D et S le sont.
ii) DS D est symétrique : en effet,
t (DS D) = t D t S t D = DS D car S est
symétrique et D également (car D est diagonale).
iii) DS D est positive : soit X une matrice colonne.
t X (DS D)X = t X t DS D X
= t (D X)S(D X)
= t Y SY
où Y est la colonne D X. S étant positive,
t Y DY 0 i.e.
t X (DS D)X 0 :
DS D est donc positive.
iv) DS D est définie positive : soit X une matrice colonne telle que
t X (DS D)X = 0. Avec Y = D X on a
t Y SY = 0 (calcul ci-dessus). S étant
définie positive, ceci entraîne Y = 0, i.e. D X = 0. Enfin, D est inversible
car elle est diagonale à coefficient diagonaux non nuls, donc D X = 0
entraîne X = 0. En résumé : si
t X (DS D)X = 0 alors X = 0, ce qui montre
que DS D est définie positive.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
85
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
ligne de S par le i-ème coefficient diagonal de D. De même, M D est obtenue en
multipliant, pour chaque i, la i-ème colonne de S par le i-ème coefficient diagonal
de D.
Soit i ∈ {1,. . . ,n}. La i-ème ligne de DS est la i-ème ligne de S multipliée
par le i-ème coefficient diagonal de D, i.e. par a
−1/2
ii
; en particulier, le
i-ème coefficient diagonal de DS est a
1/2
ii .
De même, la i-ème colonne de DS D est celle de DS multipliée par le
i-ème coefficient diagonal de D ; le i-ème coefficient diagonal de DS D est
donc 1.
La trace de DS D étant la somme de ses coefficients diagonaux il vient
tr(DS D) = n .
4. Le temps est visiblement venu d'utiliser l'inégalité de la première question, la
troisième question suggérant d'utiliser cette inégalité avec DS D à la place de S. En
effet, si on replace S par DS D dans la première inégalité, on retrouvera det(S) et
les a ii dans le membre de gauche, le membre de droite se réduisant à 1.
Il ne s'agit pas de simplement remplacer S par DS D dans l'inégalité... Encore
faut-il vérifier que DS D est symétrique définie positive !
Comme souvent, il s'agit d'une vérification de routine de la définition, l'idée étant
de se ramener au fait que S elle-même est symétrique définie positive.
Vérifions que DS D est une matrice symétrique réelle définie positive.
i) DS D est à coefficients réels car D et S le sont.
ii) DS D est symétrique : en effet,
t (DS D) = t D t S t D = DS D car S est
symétrique et D également (car D est diagonale).
iii) DS D est positive : soit X une matrice colonne.
t X (DS D)X = t X t DS D X
= t (D X)S(D X)
= t Y SY
où Y est la colonne D X. S étant positive,
t Y DY 0 i.e.
t X (DS D)X 0 :
DS D est donc positive.
iv) DS D est définie positive : soit X une matrice colonne telle que
t X (DS D)X = 0. Avec Y = D X on a
t Y SY = 0 (calcul ci-dessus). S étant
définie positive, ceci entraîne Y = 0, i.e. D X = 0. Enfin, D est inversible
car elle est diagonale à coefficient diagonaux non nuls, donc D X = 0
entraîne X = 0. En résumé : si
t X (DS D)X = 0 alors X = 0, ce qui montre
que DS D est définie positive.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire