En particulier, avec a k = ln(λ k ) (ce qui a bien un sens car les λ k sont strictement positifs) :
exp
1
n
(ln(λ 1 ) + · · · + ln(λ n ))
1
n
(λ 1 + · · · + λ n ).
Or
exp
1
n
(ln(λ 1 )+· · · + ln(λ n ))
=
n
e ln(λ 1 ) · · · e ln(λ n ) =
n
λ 1 · · · λ n
d'où
n
λ 1 · · · λ n
1
n
(λ 1 + · · · + λ n )
soit
n
det(S)
tr(S)
n
.
2. Nous savons, d'une manière générale, que si l'on note (E 1 ,. . . ,E n ) les matrices
colonnes élémentaires (i.e. E i a tous ses coefficients nuls sauf celui de la i-ème
ligne qui est 1) on a a i j = t E i S E j . Dans le cas particulier où j = i, on a alors une
expression de la forme
t X S X et on voit que l'on va pouvoir utiliser le fait que S est
définie positive.
Pour i ∈ {1,. . . ,n} soit E i ∈ M n,1 (R) dont tous les coefficients sont nuls
sauf celui de la ligne i qui vaut 1. Alors on a a ii = t E i S E i .
Par ailleurs, S est définie positive : pour toute matrice colonne
X ∈ M n,1 (R) non nulle on a
t X S X > 0. En particulier, pour X = E i , il
vient a ii > 0 .
3. Pour ce qui est du déterminant, la situation est simple : det(DS D) =
det(D) 2 det(S) et det(D) est le produit des coefficients diagonaux de D, ce qui s'exprime en fonction des a ii .
La propriété a ii > 0 démontrée dans la question précédente était nécessaire à la
définition de D, qui fait intervenir des racines carrées et des inverses.
On a det(DS D) = det(D) 2 det(S). Par ailleurs, D étant diagonale, il vient
det(D) = a
−1/2
11
· · · a
−1/2
nn . Ainsi :
det(DS D) =
1
a 11 · · · a nn
det(S).
Nous ne disposons pas d'une formule aussi simple pour calculer la trace d'un produit. Cependant, la multiplication d'une matrice par une matrice diagonale a un effet
simple qui se traduit simplement par une opération sur les lignes ou les colonnes ;
nous pouvons donc en particulier calculer simplement les coefficients diagonaux de
DS D, les seuls qui nous intéressent pour déterminer sa trace.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire