Exercice 3.5 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice
symétrique
Soit S ∈ S ++
n (R).
1. Démontrer que det(S)
tr(S)
n
n
.
On note a i j les coefficients de S.
2. Montrer que, pour tout i ∈ {1,. . . ,n}, a ii > 0 .
Soit D la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont
a
−1/2
11 ,. . . ,a
−1/2
nn .
3. Exprimer det(DS D) à l'aide de S et des a ii . Que vaut tr(DS D)?
4. En déduire det(S) a 11 · · · a nn .
1. Le déterminant et la trace se calculent simplement quand on a affaire à une
matrice diagonale. S étant symétrique réelle, elle est semblable à une matrice diagonale et, de plus, deux matrices semblables ont même déterminant et même trace.
Ainsi, on peut commencer par regarder la situation dans le cas où S est diagonale.
Si S = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) l'inégalité demandée se réduit à :
λ 1 · · · λ n
1
n
n
k=1
λ k
n
ou encore, comme les λ k sont positifs :
n
λ 1 · · · λ n
1
n
n
k=1
λ k .
On reconnaît l'inégalité entre moyenne géométrique et moyenne arithmétique qui
est un avatar de la convexité de la fonction exponentielle.
Dans le cas général, il existe une matrice orthogonale P telle que P −1 S P est diagonale ; c'est à cette dernière matrice que nous allons appliquer le résultat précédent.
S étant symétrique réelle, il existe une matrice orthogonale P et une
matrice diagonale D telles que P −1 S P = D. Les coefficiens diagonaux de
D sont les valeurs propres de S. Comme S est définie positive, ces coefficients sont strictement positifs. Autrement dit, il existe
(λ 1 ,. . . ,λ n ) ∈ (R ∗
+ ) n tel que D = diag(λ 1 ,. . . ,λ n ) .
On
a
alors det(S) = det(D) = λ 1 · · · λ n
et tr(S) = tr(D) =
λ 1 + · · · + λ n .
La fonction exponentielle étant convexe sur R on a :
∀(a 1 ,. . . ,a n ) ∈ R,exp
1
n
(a 1 + · · · + a n )
1
n
(e
a 1 + · · · + e
a n ).
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire