De même, pour conclure quant à la stabilité de F ⊥ , il est intéressant d'avoir une base
de F ⊥ .
Ainsi, nous allons simplement choisir comme base orthonormée de E la concaténation d'une base orthonormée de F et d'une base orthonormée de F ⊥ .
Bien sûr, encore faut-il que ces deux bases existent, i.e. que ces espaces ne soient
pas réduits à {0}, autrement dit que F ne soit égal ni à {0} ni à E. Ces deux cas particuliers simples doivent donc être traités séparément au début.
Le résultat est évident si F = {0} (car alors F ⊥ = E) et si F = E (car
alors F ⊥ = {0}).
Supposons désormais F = / {0} et F = / E (et donc F ⊥ = / {0}).
Soit B une base orthonormée de E obtenue en concaténant une base orthonormée de F et une base orthonormée de F ⊥ . La matrice de f dans B est
de la forme
Mat B ( f ) =
A B
0 C
car F est stable par f. De plus, F ⊥ est stable par f si, et seulement si,
B = 0.
B étant orthonormée :
Mat B ( f
∗
) =
t Mat B ( f ) =
t A 0
t B t C
.
Enfin, par hypothèse, les deux matrices suivantes sont égales :
Mat B ( f ◦ f
∗
) =
A t A + B t B B t C
C t B
C t C
Mat B ( f
∗
◦ f ) =
t A A
t AB
t B A t B B + t CC
.
Nous voyons apparaître un schéma classique pour montrer qu'une matrice est nulle.
En effet, pour tout matrice réelle D, l'égalité tr( t D D) = 0 entraîne D = 0. Il s'agit
donc d'exploiter les blocs faisant intervenir B et
t B, i.e. le premier ou le dernier. Le
premier nous donne
t A A = A t A + B t B. L'expression telle quelle ne se simplifie pas
car
t A A et A t A n'ont a priori pas de raison d'être égales mais, en appliquant la trace,
tout se simplifie.
Nous obtiendrions le même résultat avec la relation C t C = t B B + t CC .
En particulier,
t A A = A t A + B t B. Comme tr( t A A) = tr(A t A) il vient
tr(B t B) = 0 et enfin B = 0. Ainsi, F ⊥ est stable par f.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire