Pour démontrer la dernière implication iii) ⇒ i), il s'agit de faire apparaître f ◦ f ∗
et f ∗ ◦ f à partir de l'expression de iii) qui fait intervenir f et f ∗ séparément. La
bonne façon de faire est d'utiliser la définition de l'adjoint : f (x)| f (y) =
f ∗ ( f (x))|y (et nous pouvons également effectuer une manipulation analogue sur
l'autre membre afin de faire apparaître f ( f ∗ (x)).
iii) ⇒ i) : pour tout (x,y) ∈ E on a
f (x)| f (y) = = f
∗
(x)| f
∗
(y)
soit, par définition de l'adjoint,
f
∗
( f (x))|y = = f ( f
∗
(x))|y
soit encore, en regroupant les termes à gauche :
f
∗
( f (x)) − f ( f
∗
(x))|y = 0.
Ainsi, étant donné x ∈ E, le vecteur f ∗ ( f (x)) − f ( f ∗ (x)) est orthogonal
à tous les vecteurs de E et est donc nul. Autrement dit,
∀x ∈ E, f
∗
( f (x)) = f ( f
∗
(x))
ce qui signifie f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ , i.e. f est normal.
Notons que les endomorphismes orthogonaux et les endomorphismes symétriques
sont clairement normaux puisque, dans le premier cas, f ∗ = f −1 et, dans le
second, f ∗ = f . Le résultat de la deuxième question est d'ailleurs bien connu pour
ces endomorphismes.
2. Conformément à l'indication, nous allons considérer les matrices de f et f ∗ dans
une base orthonormée B de E.
Dans le contexte des espaces euclidiens, seules les bases orthonormées sont réellement intéressantes. En effet, la matrice de f ∗ est la transposée de la matrice de
f si on considère les matrices dans une base orthonormée – c'est faux en général !
De même, la matrice d'un endomorphisme orthogonal dans une base non orthonormée n'est pas orthogonale, etc.
Il s'agit cependant de choisir une base orthonormée intéressante... Le but de la question est de montrer que, si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors F ⊥
l'est également. La stabilité se traduit matriciellement par des blocs nuls si l'on choisit judicieusement les bases. Plus précisément, en considérant une base de E dont
les premiers vecteurs forment une base de F, les p premières colonnes (avec
p = dim(F)) auront des coefficients nuls au-delà de la p e ligne.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
81
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
et f ∗ ◦ f à partir de l'expression de iii) qui fait intervenir f et f ∗ séparément. La
bonne façon de faire est d'utiliser la définition de l'adjoint : f (x)| f (y) =
f ∗ ( f (x))|y (et nous pouvons également effectuer une manipulation analogue sur
l'autre membre afin de faire apparaître f ( f ∗ (x)).
iii) ⇒ i) : pour tout (x,y) ∈ E on a
f (x)| f (y) = = f
∗
(x)| f
∗
(y)
soit, par définition de l'adjoint,
f
∗
( f (x))|y = = f ( f
∗
(x))|y
soit encore, en regroupant les termes à gauche :
f
∗
( f (x)) − f ( f
∗
(x))|y = 0.
Ainsi, étant donné x ∈ E, le vecteur f ∗ ( f (x)) − f ( f ∗ (x)) est orthogonal
à tous les vecteurs de E et est donc nul. Autrement dit,
∀x ∈ E, f
∗
( f (x)) = f ( f
∗
(x))
ce qui signifie f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗ , i.e. f est normal.
Notons que les endomorphismes orthogonaux et les endomorphismes symétriques
sont clairement normaux puisque, dans le premier cas, f ∗ = f −1 et, dans le
second, f ∗ = f . Le résultat de la deuxième question est d'ailleurs bien connu pour
ces endomorphismes.
2. Conformément à l'indication, nous allons considérer les matrices de f et f ∗ dans
une base orthonormée B de E.
Dans le contexte des espaces euclidiens, seules les bases orthonormées sont réellement intéressantes. En effet, la matrice de f ∗ est la transposée de la matrice de
f si on considère les matrices dans une base orthonormée – c'est faux en général !
De même, la matrice d'un endomorphisme orthogonal dans une base non orthonormée n'est pas orthogonale, etc.
Il s'agit cependant de choisir une base orthonormée intéressante... Le but de la question est de montrer que, si F est un sous-espace vectoriel de E stable par f, alors F ⊥
l'est également. La stabilité se traduit matriciellement par des blocs nuls si l'on choisit judicieusement les bases. Plus précisément, en considérant une base de E dont
les premiers vecteurs forment une base de F, les p premières colonnes (avec
p = dim(F)) auront des coefficients nuls au-delà de la p e ligne.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire