Exercice 3.4 : Endormorphisme normal
Soient E un espace euclidien et f un endomorphisme de E.
1. Démontrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
i) f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗
ii) ∀x ∈ E,|| f (x)|| = || f ∗ (x)||
iii) ∀(x,y) ∈ E 2 , f (x)| f (y) = = f ∗ (x)| f ∗ (y)
Un tel endomorphisme est dit normal.
(on pourra effectuer une démonstration cyclique : i) ⇒ i) ⇒ iii) ⇒ i))
2. On suppose que f est normal. Montrer que l'orthogonal de tout sous-espace
vectoriel de E stable par f est également stable par f (indication : raisonner matriciellement).
1. Suivons l'indication et démontrons successivement les trois implications.
Pour la première, nous allons plutôt considérer les produits scalaires afin d'utiliser
la définition de l'adjoint. En effet, || f (x)|| 2 = = f (x)| f (x) , ce qui permet d'écrire
|| f (x)|| 2 = = f ∗ ( f (x))|x ou encore || f ∗ (x)|| 2 = =x| f ( f ∗ (x)). Nous aurons ainsi
fait apparaître les composées f ∗ ◦ f et f ◦ f ∗ qui sont par hypothèses égales.
i) ⇒ ii) : on suppose f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f.
Soit x ∈ E. Alors :
|| f (x)|| 2 = = f (x)| f (x)
= =x| f ∗ ( f (x))
= =x| f ( f ∗ (x))
= = f ∗ (x)| f ∗ (x)
= || f ∗ (x)|| 2 .
Comme les normes sont positives, ceci montre que || f (x)|| = || f ∗ (x)||.
Pour démontrer ii) ⇒ iii), nous allons utiliser une méthode de « polarisation », i.e.
exprimer un produit scalaire à l'aide de la norme associée. Il y a plusieurs relations
de ce type, notamment 4 u|v = ||u + v|| 2 − ||u − v|| 2 et 2 u|v = ||u + v|| 2
−(||u|| 2 + ||v|| 2 ). Le choix de la relation utilisée est indifférent.
ii) ⇒ iii) : soit (x,y) ∈ E 2 . On a successivement, en utilisant la relation
4 u|v = ||u + v|| 2 − ||u − v|| 2 :
4 f (x)| f (y) = || f (x) + f (y)|| 2 − || f (x) − f (y)|| 2
= || f (x + y)|| 2 − || f (x − y)|| 2
= || f ∗ (x + y)|| 2 − || f ∗ (x − y)|| 2
= || f ∗ (x) + f ∗ (y)|| 2 − || f ∗ (x) − f ∗ (y)|| 2
= 4 f ∗ (x)| f ∗ (y).
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
Soient E un espace euclidien et f un endomorphisme de E.
1. Démontrer que les trois propriétés suivantes sont équivalentes :
i) f ∗ ◦ f = f ◦ f ∗
ii) ∀x ∈ E,|| f (x)|| = || f ∗ (x)||
iii) ∀(x,y) ∈ E 2 , f (x)| f (y) = = f ∗ (x)| f ∗ (y)
Un tel endomorphisme est dit normal.
(on pourra effectuer une démonstration cyclique : i) ⇒ i) ⇒ iii) ⇒ i))
2. On suppose que f est normal. Montrer que l'orthogonal de tout sous-espace
vectoriel de E stable par f est également stable par f (indication : raisonner matriciellement).
1. Suivons l'indication et démontrons successivement les trois implications.
Pour la première, nous allons plutôt considérer les produits scalaires afin d'utiliser
la définition de l'adjoint. En effet, || f (x)|| 2 = = f (x)| f (x) , ce qui permet d'écrire
|| f (x)|| 2 = = f ∗ ( f (x))|x ou encore || f ∗ (x)|| 2 = =x| f ( f ∗ (x)). Nous aurons ainsi
fait apparaître les composées f ∗ ◦ f et f ◦ f ∗ qui sont par hypothèses égales.
i) ⇒ ii) : on suppose f ◦ f ∗ = f ∗ ◦ f.
Soit x ∈ E. Alors :
|| f (x)|| 2 = = f (x)| f (x)
= =x| f ∗ ( f (x))
= =x| f ( f ∗ (x))
= = f ∗ (x)| f ∗ (x)
= || f ∗ (x)|| 2 .
Comme les normes sont positives, ceci montre que || f (x)|| = || f ∗ (x)||.
Pour démontrer ii) ⇒ iii), nous allons utiliser une méthode de « polarisation », i.e.
exprimer un produit scalaire à l'aide de la norme associée. Il y a plusieurs relations
de ce type, notamment 4 u|v = ||u + v|| 2 − ||u − v|| 2 et 2 u|v = ||u + v|| 2
−(||u|| 2 + ||v|| 2 ). Le choix de la relation utilisée est indifférent.
ii) ⇒ iii) : soit (x,y) ∈ E 2 . On a successivement, en utilisant la relation
4 u|v = ||u + v|| 2 − ||u − v|| 2 :
4 f (x)| f (y) = || f (x) + f (y)|| 2 − || f (x) − f (y)|| 2
= || f (x + y)|| 2 − || f (x − y)|| 2
= || f ∗ (x + y)|| 2 − || f ∗ (x − y)|| 2
= || f ∗ (x) + f ∗ (y)|| 2 − || f ∗ (x) − f ∗ (y)|| 2
= 4 f ∗ (x)| f ∗ (y).
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