Dans le cas où l'un des coefficients diagonaux est égal à 1, le raisonnement
précédent montre que x j = 0 pour j = / i 0 (avec i 0 tel que a i 0 i 0 = 1).
Cependant, on a aussi
n
i=1
x i
2
= 0 et donc x 1 + · · · + x n = 0. Si tous
les x i sont nuls pour i = / i 0 , on a donc également x i 0 = 0. Ainsi, A est
encore dans ce cas définie positive.
Si plusieurs coefficients diagonaux sont égaux à 1, la matrice A a plusieurs
colonnes égales et n'est donc pas inversible, a fortiori elle n'est pas définie positive.
Exercice 3.3 : Construction de matrices positives
Soient A ∈ M n (R) et B = t A A. Montrer que B est symétrique positive. Montrer
que B est définie positive si, et seulement si, A est inversible.
Il ne faut pas oublier de commencer par vérifier que B est bien symétrique...
Ensuite, nous envisagerons les produits
t X B X, avec X matrice colonne, et vérifierons qu'ils sont bien positifs.
B est bien symétrique : en effet,
t B =
t
(
t A A) =
t
A
t t
A =
t
A A = B.
Considérons désormais une matrice colonne X ∈ M n,1 (R). Alors :
t X B X =
t X
t A AX =
t
(AX)AX 0
car l'application (U,V ) → t U V est un produit scalaire sur M n,1 (R). Ceci
montre que B est positive.
Pour démontrer l'équivalence, traitons séparément chaque implication. Le sens
direct est facile.
Si B est définie positive, elle est inversible. Or det(B) = det( t A)det(A)
= det(A) 2 donc det(A) = / 0 et A est inversible.
Pour montrer le sens réciproque, nous devons montrer que
t X B X = 0 entraîne
X = 0.
Supposons A inversible. Si X est une matrice colonne telle que
t X B X = 0
alors
t (AX)AX = 0.
L'application (U,V ) → t U V étant un produit scalaire sur M n,1 (R), on en
déduit AX = 0.
A étant inversible il vient enfin X = 0. Ceci montre que B est définie positive.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire