Remarquons que A est bien symétrique.
Soit
X ∈ M n,1 (R) .
En
écrivant
A = D + B,
où
D = diag(a 11 − 1,. . . ,a nn − 1) et B est la matrice dont tous les coefficients valent 1, il vient
t X AX =
t X DX +
t X B X.
D'une part,
t X DX =
n
i=1
(a ii − 1) x
2
i .
D'autre part, tous les coefficients de la matrice colonne B X sont égaux à
n
i=1
x i , d'où
t X B X =
n
i=1
x i
2
.
En conséquence,
t X AX =
n
i=1
(a ii − 1) x
2
i +
n
i=1
x i
2
.
Comme a ii > 1 pour tout i, cette quantité est bien positive, ce qui
démontre A ∈ S +
n (R).
Le développement intégral de t X AX donne l'expression
n
i=1
a ii x
2
i + 2
i< j
x i x j .
On peut alors effectivement reconnaître une identité remarquable, à savoir
n
i=1
x i
2
=
n
i=1
x
2
i + 2
i< j
x i x j
qui conduit au même résultat.
Il reste à traiter le cas d'égalité
t X AX = 0. La démarche est classique : nous avons
montré
t X AX 0 en affirmant qu'une somme de réels positifs est positive, il reste
à utiliser le fait qu'une telle somme est nulle si, et seulement si, tous ses termes sont
nuls.
Enfin, supposons
t X AX = 0. Comme une somme de nombres réels positifs
n'est nulle que si tous les termes sont nuls il vient
(a 11 − 1) x
2
1 = · · · = (a nn − 1) x
2
n =
n
i=1
x i
2
= 0.
Comme a ii − 1 > 0 pour tout i, on en déduit x 1 = · · · = x n = 0, soit
X = 0. Ainsi, A ∈ S ++
n (R).
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire