soit
Ker( f
∗
◦ f ) = Im( f
∗
◦ f )
⊥
.
Or
Ker( f
∗
◦ f ) = Ker( f )
d'où enfin
Im( f
∗
◦ f ) = Ker( f )
⊥
.
Nous aurions également obtenu le résultat en remplaçant f par f ∗ ◦ f dans le résultat de la deuxième question.
5. Il s'agit ici de remplacer f par f ∗ dans le résultat de la troisième question.
Du résultat de la troisième question on tire, en l'appliquant à f ∗ :
Ker( f ◦ f
∗
) = Ker( f
∗
) = Im( f )
⊥
.
6. Idem à partir de la quatrième question.
En appliquant le résultat de la quatrième question à f ∗ il vient
Im( f ◦ f
∗
) = Ker( f
∗
)
⊥
= Im( f ).
Exercice 3.2 : Exemple de matrice définie positive
Soit A ∈ M n (R)(n 2) telle que a i j = 1 si i = / j et a ii > 1 . Montrer que A est
définie positive. Montrer que c'est encore vrai si l'un des coefficients diagonaux
vaut 1.
Nous allons utiliser la définition d'une matrice définie positive ; en écrivant
t X AX
pour une matrice colonne quelconque X nous essaierons de mettre en évidence des
sommes de carrés afin d'avoir la positivité.
Pour cela, on peut développer l'expression entière en fonction des coefficients de X
et A puis factoriser (à l'aide notamment d'identités remarquables), ou bien essayer de
calculer astucieusement le produit pour obtenir directement une forme factorisée.
Étant donné que la quantité
t X AX serait immédiate à calculer si A était diagonale,
on peut chercher à écrire A = D + B avec D diagonale et B telle que
t X B X est
facile à calculer. Ceci peut se faire aisément vu la forme particulière de A.
Avant d'affirmer qu'une matrice est (définie) positive, pensez à vérifier qu'elle est
bien symétrique... ou au moins pensez à le dire si c'est clair, comme ici !
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire