76
Chapitre 3 • Algèbre bilinéaire
Le résultat précédent appliqué à f ∗ donne
Ker( f
∗∗
) = Im( f
∗
)
⊥
soit, vu que f ∗∗ = f :
Ker( f ) = Im( f
∗
)
⊥
.
E étant de dimension finie, on a F ⊥ ⊥ = F pour tout sous-espace vectoriel F de E.
En particulier, si F ⊥ = G , alors G ⊥ = F.
E étant de dimension finie, on en déduit :
Im( f
∗
) = Ker( f )
⊥
.
3. L'une des inclusions est claire.
Soit x ∈ Ker( f ). f (x) = 0 donc ( f ∗ ◦ f )(x) = f ∗ ( f (x)) = f ∗ (0) = 0 .
Ainsi, Ker( f ) ⊂ Ker( f ∗ ◦ f ).
Pour l'autre inclusion, il faut partir de f ∗ ( f (x)) = 0 et en déduire f (x) = 0. Nous
allons utiliser un produit scalaire pour « passer f ∗ de l'autre côté ».
Soit x ∈ Ker( f ∗ ◦ f ) : f ∗ ( f (x)) = 0 donc, a fortiori, f ∗ ( f (x))|x = 0.
Ainsi, f (x)| f (x) = 0, donc f (x) = 0, soit x ∈ Ker( f ).
En conclusion, Ker( f ∗ ◦ f ) = Ker( f ).
Cette propriété possède également une traduction matricielle. Si on note A la
matrice de f dans une base orthonormée B de E, la matrice de f ∗ dans B est t A et
l'inclusion Ker( f ∗ ◦ f ) ⊂ Ker( f ) se traduit ainsi : si X est une matrice colonne
telle que t A AX = 0, alors AX = 0.
Cette propriété se démontre alors en calculant uniquement avec les matrices :
comme t A AX = 0, on a également t X t A AX = 0, soit t (AX)AX = 0 et enfin
AX = 0 (car l'application (U,V ) → t U V est un produit scalaire sur M n,1 (R)).
4. Ici encore, contentons-nous de suivre l'indication. Nous allons ici remplacer f par
f ∗ ◦ f dans la première question pour faire apparaître le noyau demandé.
Rappelons que, d'une manière générale, (g ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ g ∗ . En particulier, avec
g = f ∗ , il vient ( f ∗ ◦ f ) ∗ = f ∗ ◦ f ∗∗ = f ∗ ◦ f.
En remplaçant f par f ∗ ◦ f dans le résultat de la première question on
obtient
Ker(( f
∗
◦ f )
∗
) = Im( f
∗
◦ f )
⊥