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Exercice 3.1 : Noyaux, images et adjoint
Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme de E. Démontrer les égalités
suivantes :
1. Ker( f ∗ ) = Im( f ) ⊥ .
2. Im( f ∗ ) = Ker( f ) ⊥ .
3. Ker( f ∗ ◦ f ) = Ker( f ).
4. Im( f ∗ ◦ f ) = Ker( f ) ⊥ .
5. Ker( f ◦ f ∗ ) = Im( f ) ⊥ .
6. Im( f ◦ f ∗ ) = Im( f ).
Indication : démontrer « à la main » les première et troisième propriétés et en
déduire les autres sans calcul.
1. Afin de passer de f ∗ à f, il suffit de faire apparaître des produits scalaires et d'utiliser la définition de l'adjoint : f ∗ (x)|y = =x| f (y).
Si x ∈ Ker( f ∗ ) , on a f ∗ (x) = 0. Ceci peut se traduire avec un produit scalaire en
écrivant que f ∗ (x) est orthogonal à tous les vecteurs de E.
Soit x ∈ E. On a les équivalences successives :
x ∈ Ker( f ∗ ) ⇐⇒ f ∗ (x) = 0
⇐⇒ ∀y ∈ E, f ∗ (x)|y = 0
⇐⇒ ∀y ∈ E,x| f (y) = 0
⇐⇒ ∀z ∈ Im( f ),x|z = 0
⇐⇒ x ∈ Im( f ) ⊥ .
Ainsi, Ker( f ∗ ) = Im( f ) ⊥ .
2. Comme suggéré par l'indication, nous allons déduire cette seconde égalité de la
première.
L'idée est d'échanger les rôles de f et f ∗ . Pour cela, il suffit d'appliquer le résultat
précédent à f ∗ : en effet, f ∗∗ = f, ce qui échangera effectivement les rôles des deux
applications. Ceci sera encore valable pour passer de f ∗ ◦ f à f ◦ f ∗ dans les questions suivantes.
Algèbre bilinéaire
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