En particulier, on voit que (1,−2,1) ∈ Ker( f + 2Id). Comme ce noyau est
de dimension 1, d'après les questions précédentes, la famille réduite au vecteur u 3 = (1,−2,1) en est une base.
Nous allons maintenant déterminer, comme nous l'avons fait précédemment dans le
cas général, la matrice de f dans la base B = (u 1 ,u 2 ,u 3 ). Nous savons que nous
aurons une matrice diagonale par blocs, le premier bloc étant d'ordre 2. Pour cela,
on peut calculer les matrices de passage.
La matrice de passage de la base canonique de R 3 à (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est
P =


2 0 1
1 2 −2
0 1 1

 .
Son inverse est
P
−1
=
1
9


4
1 −2
−1 2
5
1 −2 4

 .
Pour le calcul de P −1 , on peut procéder par un système ou simplement utiliser la
comatrice, ce qui est faisable pour des matrices de petite taille.
La matrice de f dans (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est donc
P
−1 AP =


0 −1 0
1 2
0
0 0 −2

 .
Nous devons maintenant écrire cette matrice comme somme d'une matrice diagonale et d'une matrice nilpotente. Cependant, nous ne cherchons pas ces matrices au
hasard : nous savons que la matrice diagonale doit être, d'après les questions précédentes, diag(1,1,−2).
Nous avons donc, avec les notations précédentes :
D =


1 0 0
0 1 0
0 0 −2


et
N =


−1 −1 0
1
1 0
0
0 0

 .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire