Cherchons maintenant des bases des sous-espaces caractéristiques. Nous savons
d'après ce qui précède qu'en les concaténant nous obtiendrons une matrice « diagonale par blocs » qui nous permettra de trouver D et N.
Notons E 1 = Ker(( f − Id) 2 ) et E 2 = Ker( f + 2Id) les sous-espaces
caractéristiques de f.
D'une part,
(A − I 3 )
2
=
1 −2 4
−2 4 −8
1 −2 4
.
Un vecteur (x,y,z) ∈ R 3 appartient donc au noyau de ( f − Id) 2 si, et seulement si :
x − 2 y + 4 z = 0.
Nous savons, d'après les questions précédentes, que le noyau de ( f − Id) 2 est de
dimension 2. Nous retrouvons ce fait grâce à l'équation précédente qui est l'équation d'un hyperplan. Pour trouver une base de Ker(( f − Id) 2 ) il suffit donc d'en
trouver deux éléments non colinéaires. Nous les chercherons sous la forme la plus
simple, par exemple en essayant de voir s'il y en a un pour lequel z = 0.
Si z = 0, il vient x = 2 y et on peut prendre x = 2 et y = 1.
Pour en trouver un autre, essayons x = 0 : il vient alors y = 2 z et on peut prendre
z = 1 et y = 2. Ceci nous fournit deux éléments non colinéaires de Ker(( f − Id) 2 )
et donc une base.
Posons u 1 = (2,1,0) et u 2 = (0,2,1). On vérifie aisément que u 1 et u 2
sont deux éléments de Ker(( f − Id) 2 ). De plus, ils ne sont pas colinéaires
donc (u 1 ,u 2 ) est libre. Enfin, d'après les questions précédentes,
Ker(( f − Id) 2 ) est de dimension 2 donc (u 1 ,u 2 ) est une base de
Ker(( f − Id) 2 ).
Passons à l'autre sous-espace caractéristique. Nous savons qu'il est de dimension 1
et il suffit donc d'en trouver un élément non nul pour avoir une base.
D'autre part :
A + 2 I 3 =
2 0 −2
1 2 3
0 1 2
.
Les éléments (x,y,z) de Ker( f + 2 Id) vérifient donc
x =
z
y = −2 z
.
72
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
d'après ce qui précède qu'en les concaténant nous obtiendrons une matrice « diagonale par blocs » qui nous permettra de trouver D et N.
Notons E 1 = Ker(( f − Id) 2 ) et E 2 = Ker( f + 2Id) les sous-espaces
caractéristiques de f.
D'une part,
(A − I 3 )
2
=
1 −2 4
−2 4 −8
1 −2 4
.
Un vecteur (x,y,z) ∈ R 3 appartient donc au noyau de ( f − Id) 2 si, et seulement si :
x − 2 y + 4 z = 0.
Nous savons, d'après les questions précédentes, que le noyau de ( f − Id) 2 est de
dimension 2. Nous retrouvons ce fait grâce à l'équation précédente qui est l'équation d'un hyperplan. Pour trouver une base de Ker(( f − Id) 2 ) il suffit donc d'en
trouver deux éléments non colinéaires. Nous les chercherons sous la forme la plus
simple, par exemple en essayant de voir s'il y en a un pour lequel z = 0.
Si z = 0, il vient x = 2 y et on peut prendre x = 2 et y = 1.
Pour en trouver un autre, essayons x = 0 : il vient alors y = 2 z et on peut prendre
z = 1 et y = 2. Ceci nous fournit deux éléments non colinéaires de Ker(( f − Id) 2 )
et donc une base.
Posons u 1 = (2,1,0) et u 2 = (0,2,1). On vérifie aisément que u 1 et u 2
sont deux éléments de Ker(( f − Id) 2 ). De plus, ils ne sont pas colinéaires
donc (u 1 ,u 2 ) est libre. Enfin, d'après les questions précédentes,
Ker(( f − Id) 2 ) est de dimension 2 donc (u 1 ,u 2 ) est une base de
Ker(( f − Id) 2 ).
Passons à l'autre sous-espace caractéristique. Nous savons qu'il est de dimension 1
et il suffit donc d'en trouver un élément non nul pour avoir une base.
D'autre part :
A + 2 I 3 =
2 0 −2
1 2 3
0 1 2
.
Les éléments (x,y,z) de Ker( f + 2 Id) vérifient donc
x =
z
y = −2 z
.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire