• D et N commutent : en effectuant les produits par blocs,
DN =


λ 1 I n 1
0
. . .
0
λ r I n r




N 1
0
. . .
0
N r


=


λ 1 N 1
0
. . .
0
λ r N r


=


N 1
0
. . .
0
N r




λ 1 I n 1
0
. . .
0
λ r I n r


= N D.
Enfin, nous pouvons revenir aux endomorphismes.
Soit d l'endomorphisme de E dont la matrice dans la base B est D et n celui
dont la matrice dans cette base est N.
Alors f = d + n, d est diagonalisable car sa matrice dans la base B est diagonale, n est nilpotent et d ◦ n = n ◦ d.
5. La méthode est expliquée dans les questions précédentes : nous allons commencer par déterminer les sous-espaces caractéristiques de f.
La matrice de f dans la base canonique de R 3 est
A =


0 0 −2
1 0 3
0 1 0

 .
Son polynôme caractéristique P vérifie alors :
∀λ ∈ R,P(λ) = det(λ I n − A)
et un calcul simple donne
∀λ ∈ R,P(λ) = λ
3
− 3λ + 2.
Pour trouver les racines de ce polynôme, cherchons des racines évidentes. On
voit rapidement que P(1) = 0, ce qui permet une première factorisation :
P(λ) = (λ − 1)(λ
2
+ λ − 2) . Les racines du facteur de degré 2 sont 1 et
−2 d'où la factorisation de P :
P = (X − 1)
2
(X + 2).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire