4. Nous avons vu que la décomposition de E comme somme directe des sousespaces E k permettait de simplifier l'étude de f. L'idée est de commencer par montrer qu'une propriété est vérifiée par les f k pour ensuite remonter à f. Par exemple,
pour montrer la propriété ici demandée pour f, nous pouvons essayer de la vérifier
à partir de la matrice de f k dans B k .
Nous avons, d'après ce qui précède, ( f k − λ k Id) n k = 0, donc f k − λ k Id est
nilpotent. f k est donc la somme de l'homothétie λ k Id et de l'endomorphisme
nilpotent f k − λ k Id de E k .
Matriciellement, en reprenant la base B k de E k dans laquelle la matrice de
f k est M k , nous avons vu que
M k =


λ k
?
. . .
0
λ k


et donc M k = λ I n k + N k où N k est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux nuls, donc nilpotente. Plus précisément, N k = Mat B k ( f k − λ k Id E k )
et donc N
n k
k = 0.
La matrice M de f dans la base B est diagonale par blocs :
M =


M 1
0
. . .
0
M r

 .
que l'on peut écrire sous forme d'une somme :
M =


λ 1 I n 1
0
. . .
0
λ r I n r

 +


N 1
0
. . .
0
N r

 = D + N .
Notons que D est diagonale. N est nilpotente car elle est diagonale par blocs avec
des blocs diagonaux eux-mêmes nilpotents. Il restera ensuite à vérifier que D et N
commutent.
• N est nilpotente. En effet :
N
l
=


N 1
0
. . .
0
N r


l
=


N
l
1
0
. . .
0
N l
r

 .
On sait que N
n k
k = 0 ; on a donc N
l
k = 0 pour tout entier l n k . En particulier, avec l = max(n 1 ,. . . ,n r ) , N
l
k = 0 pour tout k. Ainsi, N l = 0, ce
qui montre que N est nilpotente.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire