Comme E =
r
k=1
E k , la famille B obtenue en concaténant les bases
B 1 ,. . . ,B r de E 1 ,. . . ,E r est une base de E.
Alors
Mat B ( f ) =


M 1
0
. . .
0
M r

 .
donc, pour λ ∈ K :
λ I n − Mat B ( f ) =


λ I dim(E 1 ) − M 1
0
. . .
0
λ I dim(E r ) − M r

 .
En considérant les déterminants il vient
P = P 1 · · · P r .
3.c. Nous avons ici deux expressions de P comme produit de polynômes de degré
1 : d'une part,
P = (X − λ 1 )
n 1 · · · (X − λ r )
n r
par définition même des n k . D'autre part, nous venons de voir que
P = P 1 · · · P r
avec P k = (X − λ k ) dim(E k ) .
Pour pouvoir « identifier » les exposants, nous pouvons utiliser l'unicité de la
décomposition en facteurs irréductibles.
On a donc
P = (X − λ 1 )
dim(E 1 )
· · · (X − λ r )
dim(E r )
.
Par ailleurs, par définition, la factorisation de P en produit de facteurs irréductibles est
P = (X − λ 1 )
n 1 · · · (X − λ r )
n r .
La décomposition en facteurs irréductibles étant unique à l'ordre des facteurs
près, l'exposant de chaque polynôme irréductible X − λ k est le même dans
chacune de ces deux écritures, i.e. :
∀k ∈ {1,. . . ,r},dim(E k ) = n k .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire