Pour la stabilité, il n'y a rien à faire : on sait que, pour tout polynôme Q, Ker(Q( f ))
et Im(Q( f )) sont stables par f.
Enfin, E k est le noyau d'un polynôme de f donc est stable par f.
3.a. f k est simple à étudier : il vérifie ( f k − λ k Id E k ) n k = 0 donc (X − λ k ) n k en est
un annulateur. Ce polynôme étant scindé, f k est trigonalisable.
Il existe donc une base B k de E k dans laquelle la matrice
M k = Mat B k ( f k ) ∈ M dim(E k ) (K) est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux de cette matrice sont les valeurs propres de f k et sont donc racines de tous les
polynômes qui annulent f k , en particulier de (X − λ k ) n k ; ainsi, tous les coefficients
diagonaux de M k sont égaux à λ k . Le calcul du déterminant donnant P k (λ) pour
λ ∈ K est alors immédiat.
A priori, (X − λ k ) n k n'est qu'un polynôme annulateur de f k : à ce stade de l'exercice il n'y a pas de raison pour que ce soit le polynôme caractéristique de f k .
( f k − λ k Id E k ) n k = 0 donc le polynôme (X − λ k ) n k est un annulateur de
f k . On en déduit :
i) toute valeur propre de f k est racine de (X − λ k ) n k , donc la seule valeur
propre éventuelle de f k est λ k ;
ii) (X − λ k ) n k est scindé, donc f k est trigonalisable.
Ainsi, il existe une base B k de E k telle que la matrice
M k = Mat B k ( f k ) ∈ M dim(E k ) (K) est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux de cette matrice sont donc les valeurs propres de f k ; ils
sont donc tous égaux à λ k .
Ainsi, pour tout λ ∈ K , la matrice λ I dim(E k ) − M k est triangulaire supérieure, tous ses coefficients diagonaux étant égaux à λ − λ k ; son déterminant est donc (λ − λ k ) dim(E k ) , i.e. :
P k = (X − λ k )
dim(E k )
.
3.b. Chacun des sous-espaces E k est stable par f et on connaît le polynôme caractéristique de chacun des endomorphismes induits.
Une bonne stratégie est de concaténer des bases de chacun des E k pour obtenir une
base de E dans laquelle la matrice de f sera « diagonale par blocs ». Les calculs de
déterminants, et en particulier de polynômes caractéristiques, en seront grandement
simplifiés.
68
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
et Im(Q( f )) sont stables par f.
Enfin, E k est le noyau d'un polynôme de f donc est stable par f.
3.a. f k est simple à étudier : il vérifie ( f k − λ k Id E k ) n k = 0 donc (X − λ k ) n k en est
un annulateur. Ce polynôme étant scindé, f k est trigonalisable.
Il existe donc une base B k de E k dans laquelle la matrice
M k = Mat B k ( f k ) ∈ M dim(E k ) (K) est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux de cette matrice sont les valeurs propres de f k et sont donc racines de tous les
polynômes qui annulent f k , en particulier de (X − λ k ) n k ; ainsi, tous les coefficients
diagonaux de M k sont égaux à λ k . Le calcul du déterminant donnant P k (λ) pour
λ ∈ K est alors immédiat.
A priori, (X − λ k ) n k n'est qu'un polynôme annulateur de f k : à ce stade de l'exercice il n'y a pas de raison pour que ce soit le polynôme caractéristique de f k .
( f k − λ k Id E k ) n k = 0 donc le polynôme (X − λ k ) n k est un annulateur de
f k . On en déduit :
i) toute valeur propre de f k est racine de (X − λ k ) n k , donc la seule valeur
propre éventuelle de f k est λ k ;
ii) (X − λ k ) n k est scindé, donc f k est trigonalisable.
Ainsi, il existe une base B k de E k telle que la matrice
M k = Mat B k ( f k ) ∈ M dim(E k ) (K) est triangulaire supérieure. Les coefficients diagonaux de cette matrice sont donc les valeurs propres de f k ; ils
sont donc tous égaux à λ k .
Ainsi, pour tout λ ∈ K , la matrice λ I dim(E k ) − M k est triangulaire supérieure, tous ses coefficients diagonaux étant égaux à λ − λ k ; son déterminant est donc (λ − λ k ) dim(E k ) , i.e. :
P k = (X − λ k )
dim(E k )
.
3.b. Chacun des sous-espaces E k est stable par f et on connaît le polynôme caractéristique de chacun des endomorphismes induits.
Une bonne stratégie est de concaténer des bases de chacun des E k pour obtenir une
base de E dans laquelle la matrice de f sera « diagonale par blocs ». Les calculs de
déterminants, et en particulier de polynômes caractéristiques, en seront grandement
simplifiés.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire