5. Application numérique : soit f l'endomorphisme de R 3 défini par
f (x,y,z) = (−2z,x + 3z,y) . Déterminer les matrices de d et n dans la base
canonique.
1. Le membre de droite est une somme directe de noyaux de polynômes en f. On
peut donc tenter d'utiliser le théorème de décomposition des noyaux : si P 1 ,. . . ,P r
sont des polynômes deux deux premiers entre eux alors
Ker(P 1 . . . P r ( f )) =
r
k=1
Ker(P k ( f )).
Ici, il faudra prendre P k = (X − λ k ) n k . Comme le seul facteur irréductible de P k est
X − λ k , un polynôme est premier avec P k si, et seulement si, il n'est pas divisible
par X − λ k , i.e. ne possède pas λ k comme racine.
Si i = / j, les polynômes (X − λ i ) n i et (X − λ j ) n j sont premiers entre eux
car ils n'ont aucun facteur irréductible en commun.
On a donc, d'après le théorème de décomposition des noyaux :
Ker(P( f )) =
r
k=1
Ker(( f − λ k Id)
n k ).
Par ailleurs :
• par définition, Ker(( f − λ k Id) n k ) = E k ;
• d'après le théorème de Cayley-Hamilton, P( f ) = 0 et donc
Ker(P( f )) = E .
Ainsi :
E =
r
k=1
E k .
2. On sait que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, Ker( f − λ k Id) = / {0} car λ k est racine
de P, le polynôme caractéristique de f, et est donc valeur propre de f.
Pour passer du noyau de f − λ k Id à celui de ( f − λ k Id) n k , souvenons-nous que
l'on a toujours l'inclusion Ker(g) ⊂ Ker(g p ) pour g ∈ L(E) et p ∈ N ∗ : en effet, si
x ∈ Ker(g), on a g(x) = 0 donc g p (x) = g p−1 (g(x)) = g p−1 (0) = 0 . Ainsi, E k
contient le sous-espace propre de f associé à λ k qui n'est pas réduit à {0} donc E k
lui-même n'est pas réduit à {0}.
Soit k ∈ {1,. . . ,r}. Comme n k 1, Ker( f − λ k Id) ⊂ Ker(( f − λ k Id) n k )
= E k .
Par ailleurs, λ k est racine du polynôme caractéristique de f donc est une
valeur propre de f : ainsi, Ker( f − λ k Id) = / {0} , donc E k = / {0}.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire