Le produit des polynômes se traduit par la composition des endomorphismes. Ceci
permet de faire le lien entre P( f ) et Q( f ), et donc Q(g).
La relation P = Q R donne P( f ) = Q( f ) ◦ R( f ) = R( f ) ◦ Q( f ) .
Ainsi : P( f )(x) = Q( f )(R( f )(x)) = R( f )(Q( f )(x)) .
Comme g est induit par f on a, pour tout élément y de F,
Q(g)(y) = Q( f )(y) ; en particulier, Q( f )(x) = Q(g)(x) = 0.
Il vient enfin :
P( f )(x) = R( f )(Q( f )(x)) = R( f )(0) = 0.
Le but de l'exercice est de démontrer que P( f ) = 0, i.e. que l'égalité ci-dessus est
vérifiée pour tous les vecteurs x de E. Ceci est presque le cas : nous l'avons vérifié
pour un vecteur non nul quelconque, il reste à voir que c'est encore vrai pour x = 0,
ce qui est clair par linéarité.
Nous avons donc démontré que, pour tout élément non nul x de E,
P( f )(x) = 0 . Par ailleurs, P( f ) est linéaire, donc P( f )(0) = 0. Ainsi,
P( f )(x) = 0 pour tout élément x de E. Ceci montre que P( f ) = 0, i.e.
que P, le polynôme caractéristique de f, est un polynôme annulateur de f :
c'est le théorème de Cayley-Hamilton.
Exercice 2.14 : Décomposition de Dunford
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle p et f un endomorphisme de E. On note P le polynôme caractéristique de f et on suppose qu'il est
scindé : P = (X − λ 1 ) n 1 · · · (X − λ r ) n r avec r ∈ N ∗ , λ 1 ,. . . ,λ r les racines distinctes de P de multiplicités respectives n 1 ,. . . ,n r .
Pour k ∈ {1,. . . ,r} on pose E k = Ker(( f − λ k Id) n k ) . Ce sont les sous-espaces
caractéristiques de f.
1. Démontrer que E =
r
k=1
E k .
2. Montrer que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, E k = / {0} et est stable par f.
Pour k ∈ {1,. . . ,r} on note f k l'endomorphisme de E k induit par f et P k son polynôme caractéristique.
3.a. Montrer que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, P k = (X − λ k ) dim(E k ) .
3.b. Montrer que P =
r
k=1
P k .
3.c. En déduire que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, dim(E k ) = n k .
4. Démontrer qu'il existe deux endomorphismes d et n de E, avec d diagonalisable et n nilpotent, tels que f = d + n et d ◦ n = n ◦ d.
66
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
permet de faire le lien entre P( f ) et Q( f ), et donc Q(g).
La relation P = Q R donne P( f ) = Q( f ) ◦ R( f ) = R( f ) ◦ Q( f ) .
Ainsi : P( f )(x) = Q( f )(R( f )(x)) = R( f )(Q( f )(x)) .
Comme g est induit par f on a, pour tout élément y de F,
Q(g)(y) = Q( f )(y) ; en particulier, Q( f )(x) = Q(g)(x) = 0.
Il vient enfin :
P( f )(x) = R( f )(Q( f )(x)) = R( f )(0) = 0.
Le but de l'exercice est de démontrer que P( f ) = 0, i.e. que l'égalité ci-dessus est
vérifiée pour tous les vecteurs x de E. Ceci est presque le cas : nous l'avons vérifié
pour un vecteur non nul quelconque, il reste à voir que c'est encore vrai pour x = 0,
ce qui est clair par linéarité.
Nous avons donc démontré que, pour tout élément non nul x de E,
P( f )(x) = 0 . Par ailleurs, P( f ) est linéaire, donc P( f )(0) = 0. Ainsi,
P( f )(x) = 0 pour tout élément x de E. Ceci montre que P( f ) = 0, i.e.
que P, le polynôme caractéristique de f, est un polynôme annulateur de f :
c'est le théorème de Cayley-Hamilton.
Exercice 2.14 : Décomposition de Dunford
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle p et f un endomorphisme de E. On note P le polynôme caractéristique de f et on suppose qu'il est
scindé : P = (X − λ 1 ) n 1 · · · (X − λ r ) n r avec r ∈ N ∗ , λ 1 ,. . . ,λ r les racines distinctes de P de multiplicités respectives n 1 ,. . . ,n r .
Pour k ∈ {1,. . . ,r} on pose E k = Ker(( f − λ k Id) n k ) . Ce sont les sous-espaces
caractéristiques de f.
1. Démontrer que E =
r
k=1
E k .
2. Montrer que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, E k = / {0} et est stable par f.
Pour k ∈ {1,. . . ,r} on note f k l'endomorphisme de E k induit par f et P k son polynôme caractéristique.
3.a. Montrer que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, P k = (X − λ k ) dim(E k ) .
3.b. Montrer que P =
r
k=1
P k .
3.c. En déduire que, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, dim(E k ) = n k .
4. Démontrer qu'il existe deux endomorphismes d et n de E, avec d diagonalisable et n nilpotent, tels que f = d + n et d ◦ n = n ◦ d.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire