Nous pouvons remarquer que l'on a en fait Q(g) = 0. En effet, comme Q(g) est un
polynôme en g, Q(g) et g commutent. On a donc
Q(g)(g
k
(x)) = g
k
(Q(g)(x)) = g
k
(0) = 0
pour tout entier naturel k. Par ailleurs, g étant induit par f, g k (x) = f k (x). Ainsi,
Q(g) est nul sur tous les vecteurs de B et donc sur F. Nous avons donc démontré
le théorème de Cayley-Hamilton pour g, i.e. dans le cas particulier des endomorphismes dont la matrice dans une certaine base est de la forme du lemme.
4. Le calcul du polynôme caractéristique peut se faire à partir de la matrice de l'endomorphisme dans n'importe quelle base. Pour trouver une relation entre P et Q, on
peut donc d'abord chercher une relation entre les matrices de g et f dans des bases
de F et E bien choisies.
Afin d'exploiter le fait que F est stable par f et que g est l'endomorphisme de F
induit par f, on peut considérer la matrice de f dans une base de E obtenue en complétant une base de F. En effet, dans une telle base, la matrice de f est constitué de
quatre blocs et le bloc en deuxième ligne et première colonne est nul. Ceci permet
de calculer les déterminants, et donc les polynômes caractéristiques, simplement.
Comme toujours, quand on veut compléter une base d'un espace vectoriel de
dimension finie, il faut traiter à part un cas particulier. En effet, si F est égal à E,
B est elle-même une base de E et il n'y a rien à compléter : dans ce cas, on a simplement g = f et donc Q = P. De façon analogue, avant d'introduire une base
d'un espace vectoriel, on doit toujours vérifier qu'il n'est pas réduit à 0.
• Supposons p = n : alors F = E et donc, comme g(y) = f (y) pour tout
y ∈ F, on a g = f et enfin Q = P, donc Q divise P.
• Supposons p < n.
Complétons B en une base C de E. Alors la matrice de f dans la base C est
de la forme
A B
0 C
avec A = Mat B (g) ∈ M p (K) , B ∈ M p,n− p (K) et C ∈ M n− p (K).
Pour tout λ ∈ K on a donc :
λ I n −
A B
0 C
=
λ I p − A
−B
0
λ I n− p − C
donc P(λ) = Q(λ) det(λ I n− p − C) = Q(λ) R(λ) , avec R le polynôme
caractéristique de C.
Ceci étant vrai pour tout scalaire λ on a l'égalité
P = Q R
donc Q divise P.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
65
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
polynôme en g, Q(g) et g commutent. On a donc
Q(g)(g
k
(x)) = g
k
(Q(g)(x)) = g
k
(0) = 0
pour tout entier naturel k. Par ailleurs, g étant induit par f, g k (x) = f k (x). Ainsi,
Q(g) est nul sur tous les vecteurs de B et donc sur F. Nous avons donc démontré
le théorème de Cayley-Hamilton pour g, i.e. dans le cas particulier des endomorphismes dont la matrice dans une certaine base est de la forme du lemme.
4. Le calcul du polynôme caractéristique peut se faire à partir de la matrice de l'endomorphisme dans n'importe quelle base. Pour trouver une relation entre P et Q, on
peut donc d'abord chercher une relation entre les matrices de g et f dans des bases
de F et E bien choisies.
Afin d'exploiter le fait que F est stable par f et que g est l'endomorphisme de F
induit par f, on peut considérer la matrice de f dans une base de E obtenue en complétant une base de F. En effet, dans une telle base, la matrice de f est constitué de
quatre blocs et le bloc en deuxième ligne et première colonne est nul. Ceci permet
de calculer les déterminants, et donc les polynômes caractéristiques, simplement.
Comme toujours, quand on veut compléter une base d'un espace vectoriel de
dimension finie, il faut traiter à part un cas particulier. En effet, si F est égal à E,
B est elle-même une base de E et il n'y a rien à compléter : dans ce cas, on a simplement g = f et donc Q = P. De façon analogue, avant d'introduire une base
d'un espace vectoriel, on doit toujours vérifier qu'il n'est pas réduit à 0.
• Supposons p = n : alors F = E et donc, comme g(y) = f (y) pour tout
y ∈ F, on a g = f et enfin Q = P, donc Q divise P.
• Supposons p < n.
Complétons B en une base C de E. Alors la matrice de f dans la base C est
de la forme
A B
0 C
avec A = Mat B (g) ∈ M p (K) , B ∈ M p,n− p (K) et C ∈ M n− p (K).
Pour tout λ ∈ K on a donc :
λ I n −
A B
0 C
=
λ I p − A
−B
0
λ I n− p − C
donc P(λ) = Q(λ) det(λ I n− p − C) = Q(λ) R(λ) , avec R le polynôme
caractéristique de C.
Ceci étant vrai pour tout scalaire λ on a l'égalité
P = Q R
donc Q divise P.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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