g étant induit par f on a, par définition, g(y) = f (y) pour tout élément y de F. En
particulier, g(e k ) = f ( f k (x)) = f k+1 (x). Si k + 1 p − 1, ce dernier vecteur
n'est autre que e k+1 . Le cas de g(e p−1 ) devra être traité séparément.
Si 0 k p − 2, k + 1 p − 1 et on a donc g(e k ) = e k+1 .
Pour k = p − 1, on a g(e p−1 ) = f p (x) . Nous avons vu précédemment que
f p (x) est combinaison linéaire de B ; il existe donc des scalaires
a 0 ,. . . ,a p−1 tels que f
p
(x) =
p−1
k=0
a k f
k
(x) =
p−1
k=0
a k e k .
La matrice de g dans la base B est donc :
Mat B (g) =







0 . . . . . . 0 a 0
1
. . .
. . .
a 1
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .
0 . . . 0 1 a p−1







= A(a 0 ,. . . ,a p−1 ).
3. Vu la forme de la matrice de g dans B, le lemme de la première question s'applique. Le résultat en découle immédiatement.
D'après le lemme, Q = X p − a p−1 X p−1 − . . . − a 1 X − a 0 .
On a donc Q(g) = g
p
−
p−1
k=0
a k g
k et enfin :
Q(g)(x) = g
p
(x) −
p−1
k=0
a k g
k
(x).
Par définition des scalaires a k on a :
f
p
(x) =
p−1
k=0
a k f
k
(x)
soit, vu que g(y) = f (y) pour tout y ∈ F :
g
p
(x) =
p−1
k=0
a k g
k
(x)
ce qui donne enfin
Q(g)(x) = 0.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire