2.b. La définition de la famille B est bien cohérente car p ∈ N ∗ : si p était nul,
f p−1 (x) n'aurait pas de sens en général ! C'est pour cela qu'il était demandé de vérifier p = / 0.
Comme F est, par définition, engendré par les vecteurs f k (x) avec 0 k p − 1,
il suffit de démontrer que f ( f k (x)) ∈ F pour tout ces entiers k.
Pour 0 k p − 2, on a f ( f k (x)) = f k+1 (x) ∈ F car alors
k + 1 p − 1.
Il reste à montrer que f ( f p−1 (x)) , i.e. f p (x), est élément de F, i.e. est combinaison linéaire des f k (x) avec 0 k p − 1.
Nous avons une propriété assez voisine de celle-ci : la famille (x, f (x),. . . , f p (x))
étant liée, il existe une combinaison linéaire nulle à coefficients non tous nuls de
cette famille. Il ne reste plus qu'à en déduire l'expression de f p (x) comme combinaison linéaire des autres f k (x).
Par définition de p il existe λ 0 ,. . . ,λ p ∈ K, non tous nuls, tels que
p
k=0
λ k f
k
(x) = 0 . Ainsi :
λ p f
p
(x) =
p−1
k=0
− λ k f
k
(x).
Il reste à diviser par λ p ... Pour peu que ce scalaire ne soit pas nul !
Supposons λ p = 0 ; alors
p−1
k=0
λ k f
k
(x) = 0 .
La famille (x, f (x),. . . , f p−1 (x)) étant libre (par définition de p) on a
donc λ 0 = . . . = λ p−1 = 0 .
Ainsi, λ k = 0 pour tout k ∈ {0,. . . ,p} , ce qui est contraire à l'hypothèse
faite précédemment sur ces scalaires.
Ainsi, λ p = / 0. On a donc :
f
p
(x) =
p−1
k=0
−
λ k
λ p
f
k
(x) ∈ F.
En conséquence, f ( f p−1 (x)) ∈ F : F est donc stable par f.
Enfin, par définition, B est une famille génératrice de F. De plus, nous
avons vu que cette famille est libre car p − 1 < p. C'est donc une base
de F.
2.c. Pour plus de clarté notons, pour 0 k p − 1, e k = f k (x).
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire