l'hypothèse de récurrence et le second est un déterminant triangulaire et donc simplement le produit des termes diagonaux.
Attention aux signes : d'une manière générale, quand on développe un déterminant
par rapport à une ligne ou une colonne, le déterminant extrait obtenu en supprimant
la ligne i et la colonne j est affecté du coefficient (−1) i+ j ; ici, dans le cas de la première ligne et de la dernière colonne, i = 1 et j = n + 1, d'où la présence du coefficient (−1) n+2 .
En développant le déterminant selon la première ligne on obtient
P(x) = x det(x I n − A(a 1 ,. . . ,a n )) + (−1)
n+2
(−a 0 ) det(T )
où T est la matrice obtenue en supprimant la première ligne et la dernière
colonne de x I n+1 − A(a 0 ,. . . ,a n−1 ).
• D'une part, det(x I n − A(a 1 ,. . . ,a n )) = x n − a n x n−1 − · · · − a 2 x − a 1
par hypothèse de récurrence.
• D'autre part, T est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous
égaux à −1, donc det(T ) = (−1) n .
Ainsi, P(x) = x(x
n
− a n x
n−1
− · · · − a 2 x − a 1 ) − a 0 = x
n+1
− a n x
n
− · · · − a 1 x − a 0 . Cette relation étant vraie pour tout x ∈ K,
P = X n+1 − a n X n − · · · − a 1 X − a 0 . Autrement dit, H n+1 est vraie.
2.a. Pour démontrer qu'il existe un plus petit entier naturel possédant une propriété,
il suffit de démontrer que l'ensemble des entiers naturels possédant cette propriété
n'est pas vide : il possède alors un plus petit élément car toute partie non vide de N
possède un minimum.
Dans le cas qui nous intéresse, il s'agit donc de démontrer qu'il existe au moins un
entier naturel k tel que la famille (x, f (x),. . . , f k (x)) est liée. Comme E est de
dimension finie n, toute famille de cardinal n + 1 est liée, il suffit donc de prendre
k = n.
Soit X l'ensemble des entiers naturels k tels que la famille
(x, f (x),. . . , f k (x)) est liée. Comme E est de dimension finie n, toute
famille de cardinal n + 1 est liée, en particulier (x, f (x),. . . , f n (x)) est
liée. Ainsi, n ∈ X, donc X = / ∅.
X est un sous-ensemble non vide de N donc possède un plus petit élément
p. Ainsi, p est le plus petit entier naturel tel que (x, f (x),. . . , f p (x)) est
liée.
Supposons p = 0 ; la famille est alors réduite à (x). Cependant, x = / 0,
donc la famille (x) est libre ; ainsi, p = / 0.
Notons dès à présent que la définition de p entraîne que les familles
(x, f (x),. . . , f k (x)), avec k < p, sont libres (et en particulier si k = p − 1, ce qui
servira par la suite).
62
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
Attention aux signes : d'une manière générale, quand on développe un déterminant
par rapport à une ligne ou une colonne, le déterminant extrait obtenu en supprimant
la ligne i et la colonne j est affecté du coefficient (−1) i+ j ; ici, dans le cas de la première ligne et de la dernière colonne, i = 1 et j = n + 1, d'où la présence du coefficient (−1) n+2 .
En développant le déterminant selon la première ligne on obtient
P(x) = x det(x I n − A(a 1 ,. . . ,a n )) + (−1)
n+2
(−a 0 ) det(T )
où T est la matrice obtenue en supprimant la première ligne et la dernière
colonne de x I n+1 − A(a 0 ,. . . ,a n−1 ).
• D'une part, det(x I n − A(a 1 ,. . . ,a n )) = x n − a n x n−1 − · · · − a 2 x − a 1
par hypothèse de récurrence.
• D'autre part, T est triangulaire supérieure à coefficients diagonaux tous
égaux à −1, donc det(T ) = (−1) n .
Ainsi, P(x) = x(x
n
− a n x
n−1
− · · · − a 2 x − a 1 ) − a 0 = x
n+1
− a n x
n
− · · · − a 1 x − a 0 . Cette relation étant vraie pour tout x ∈ K,
P = X n+1 − a n X n − · · · − a 1 X − a 0 . Autrement dit, H n+1 est vraie.
2.a. Pour démontrer qu'il existe un plus petit entier naturel possédant une propriété,
il suffit de démontrer que l'ensemble des entiers naturels possédant cette propriété
n'est pas vide : il possède alors un plus petit élément car toute partie non vide de N
possède un minimum.
Dans le cas qui nous intéresse, il s'agit donc de démontrer qu'il existe au moins un
entier naturel k tel que la famille (x, f (x),. . . , f k (x)) est liée. Comme E est de
dimension finie n, toute famille de cardinal n + 1 est liée, il suffit donc de prendre
k = n.
Soit X l'ensemble des entiers naturels k tels que la famille
(x, f (x),. . . , f k (x)) est liée. Comme E est de dimension finie n, toute
famille de cardinal n + 1 est liée, en particulier (x, f (x),. . . , f n (x)) est
liée. Ainsi, n ∈ X, donc X = / ∅.
X est un sous-ensemble non vide de N donc possède un plus petit élément
p. Ainsi, p est le plus petit entier naturel tel que (x, f (x),. . . , f p (x)) est
liée.
Supposons p = 0 ; la famille est alors réduite à (x). Cependant, x = / 0,
donc la famille (x) est libre ; ainsi, p = / 0.
Notons dès à présent que la définition de p entraîne que les familles
(x, f (x),. . . , f k (x)), avec k < p, sont libres (et en particulier si k = p − 1, ce qui
servira par la suite).
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire