• Si n = 3 soient :
A(a 0 ,a 1 ,a 2 ) =


0 0 a 0
1 0 a 1
0 1 a 2


et P son polynôme caractéristique. Alors, pour tout scalaire x :
P(x) = det


x
0
−a 0
−1 x
−a 1
0 −1 x − a 2

 .
En développant selon la première colonne il vient
P(x) = x det
x
−a 1
−1 x − a 2
+ det
0
−a 0
−1 x − a 2
soit
P(x) = x(x(x − a 2 ) − a 1 ) − a 0
et enfin P(x) = x 3 − a 2 x 2 − a 1 x − a 0 . Ainsi, P = X 3 − a 2 X 2 − a 1 X − a 0 .
Dans le cas général de l'énoncé, il est raisonnable de supposer que le polynôme
caractéristique de A(a 0 ,. . . ,a n−1 ) est X n − a n−1 X n−1 − · · · − a 1 X − a 0 .
Pour tout entier n 2 posons H n : « Pour tout (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n , le polynôme
caractéristique de A(a 0 ,. . . ,a n−1 ) est X n − a n−1 X n−1 − · · · − a 1 X − a 0 »
• H 2 est vraie.
• Soit un entier n 2 tel que H n est vraie. Considérons
(a 0 ,. . . ,a n ) ∈ K n+1 et soit P le polynôme caractéristique de A(a 0 ,. . . ,a n ).
Ainsi, pour tout x ∈ K :
P(x) = det(x I n+1 − A(a 0 ,. . . ,a n )) = det







x . . . . . . 0
−a 0
−1
. . .
. . .
−a 1
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . x
. . .
0 . . . 0 −1 x − a n







.
En supprimant la première ligne et la première colonne de x I n+1 − A(a 0 ,. . . ,a n )
on obtient la matrice x I n − A(a 1 ,. . . ,a n ).
En supprimant la première ligne et la dernière colonne de x I n+1 − A(a 0 ,. . . ,a n ) on
obtient une matrice triangulaire supérieure.
Ainsi, en développant le déterminant donnant P(x) par rapport à la première ligne,
on obtiendra deux déterminants d'ordre n aisés à calculer : le premier est donné par
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire