Exercice 2.13 : Théorème de Cayley-Hamilton
Le but de cet exercice est de démontrer le théorème de Cayley-Hamilton. Veillez
donc à ne pas l'utiliser pour répondre aux questions !
1. Lemme : soient un entier n 2 et (a 0 ,. . . ,a n−1 ) ∈ K n . Déterminer le polynôme caractéristique de la matrice
A(a 0 ,. . . ,a n−1 ) =







0 . . . . . . 0 a 0
1
. . .
. . . a 1
0
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . . 0
. . .
0 . . . 0 1 a n−1







.
2. Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle n et f un endomorphisme de E dont on notera P le polynôme caractéristique. On fixe un élément
non nul x de E.
2.a. Démontrer qu'il existe un plus petit entier naturel p tel que la famille
(x, f (x),. . . , f p (x)) est liée ; vérifier que p = / 0.
2.b. Soit F = Vect(x, f (x),. . . , f p−1 (x)). Démontrer que F est stable par f et
que la famille B = (x, f (x),. . . , f p−1 (x)) en est une base.
2.c. On note g l'endomorphisme de F induit par f. Quelle est la matrice de g
dans B ?
3. Soit Q le polynôme caractéristique de g. Démontrer que Q(g)(x) = 0.
4. Montrer que Q divise P puis que P( f )(x) = 0 . Conclure.
1. Commençons par traiter les petites valeurs de n pour voir si un schéma simple se
dégage, ce qui permettrait une démonstration par récurrence.
• Si n = 2 soient :
A(a 0 ,a 1 ) =
0 a 0
1 a 1
et P son polynôme caractéristique. Alors, pour tout scalaire x :
P(x) = det
x
−a 0
−1 x − a 1
= x(x − a 1 ) − a 0 = x
2
− a 1 x − a 0 .
Ainsi, P = X 2 − a 1 X − a 0 .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire