Nous devons montrer que ϕ est combinaison linéaire de la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Pour cela, il suffit de montrer qu'elle est combinaison linéaire de la sous-famille
(ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) . Comme cette dernière famille est libre, nous pourrons utiliser le
résultat précédent. Cependant, pour cela, nous avons besoin de l'inclusion
Ker(ϕ i 1 ) ∩ · · · ∩ Ker(ϕ i s ) ⊂ Ker(ϕ).
Il faut donc comparer Ker(ϕ i 1 ) ∩ · · · ∩ Ker(ϕ i s ) et
r
k=1
Ker(ϕ k ), car c'est sur cette
dernière inclusion que porte l'hypothèse.
Une inclusion est claire : si on ajoute des ensembles dans une intersection, on ne
peut que réduire sa taille. Autrement dit,
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂
s
k=1
Ker(ϕ i k ) . Cependant,
cette inclusion est inexploitable car l'hypothèse est
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ) : il faut
donc démontrer l'inclusion inverse.
Montrons que
s
k=1
Ker(ϕ i k ) ⊂
r
k=1
Ker(ϕ k ).
Considérons un vecteur x ∈
s
k=1
Ker(ϕ i k ). Pour k ∈ {1,. . . ,r}, ϕ k est
combinaison linéaire des ϕ i l . Or ϕ i l (x) = 0 pour 1 l s. On en déduit
ϕ k (x) = 0 pour 1 k r, i.e. x ∈
r
k=1
Ker(ϕ k ).
Nous pouvons désormais conclure comme annoncé.
Nous avons donc
s
k=1
Ker(ϕ i k ) ⊂
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ).
La famille (ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) étant libre, la question précédente permet d'affirmer que ϕ est combinaison linéaire de (ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) . A fortiori, ϕ est combinaison linéaire de (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire