Cependant il faut quand même penser à utiliser l'hypothèse sur ϕ. Comme
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) est libre et que ϕ n'est pas combinaison linéaire de cette famille,
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ,ϕ) est également libre : nous allons plutôt compléter cette famille-ci en
une base de E ∗ car elle a l'avantage de faire intervenir toutes les formes linéaires de
l'énoncé.
Supposons que ϕ n'est pas combinaison linéaire de la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Comme cette famille est libre, la famille obtenue en lui ajoutant un vecteur
qui n'en est pas combinaison linéaire l'est aussi : ainsi, (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ,ϕ) est
libre. En posant ϕ r+1 = ϕ, on peut compléter cette famille en une base
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ) de E ∗ .
Soit (e 1 ,. . . ,e n ) sa base antéduale, i.e. la base de E telle que ϕ i (e j ) = δ i j .
Alors, en particulier, e r+1 ∈
r
k=1
Ker(ϕ k ) mais e r+1 /
∈ Ker(ϕ) , ce qui
montre que
r
k=1
Ker(ϕ k ) n'est pas inclus dans Ker(ϕ).
Par contraposition : si
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ) alors ϕ est combinaison
linéaire de la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
3. On peut se ramener au cas précédent en considérant une sous-famille libre de
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Plus précisément, si la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) n'est pas nulle, elle engendre un sousespace vectoriel de E ∗ qui n'est pas réduit à 0 et on peut donc en extraire une base
de ce sous-espace. En revanche, si tous les ϕ k sont nuls, l'espace engendré est réduit
à 0 mais ce cas particulier peut être étudié simplement à part.
• Si Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) = {0} alors ϕ 1 = · · · = ϕ r = 0. En particulier,
Ker(ϕ 1 ) = · · · = Ker(ϕ r ) = E et
r
k=1
Ker(ϕ k ) = E.
On a donc
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ) ⇔ E ⊂ Ker(ϕ) ⇔ Ker(ϕ) = E ⇔ ϕ = 0.
Ainsi, si i) est vérifiée, on a ϕ = 0 qui est bien combinaison linéaire de la
famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
• Supposons Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) = / {0} .
Soit (ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) une base de Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) extraite de la famille
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Alors chaque ϕ k (pour 1 k r) est combinaison linéaire de la famille
(ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) .
58
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) est libre et que ϕ n'est pas combinaison linéaire de cette famille,
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ,ϕ) est également libre : nous allons plutôt compléter cette famille-ci en
une base de E ∗ car elle a l'avantage de faire intervenir toutes les formes linéaires de
l'énoncé.
Supposons que ϕ n'est pas combinaison linéaire de la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Comme cette famille est libre, la famille obtenue en lui ajoutant un vecteur
qui n'en est pas combinaison linéaire l'est aussi : ainsi, (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ,ϕ) est
libre. En posant ϕ r+1 = ϕ, on peut compléter cette famille en une base
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ n ) de E ∗ .
Soit (e 1 ,. . . ,e n ) sa base antéduale, i.e. la base de E telle que ϕ i (e j ) = δ i j .
Alors, en particulier, e r+1 ∈
r
k=1
Ker(ϕ k ) mais e r+1 /
∈ Ker(ϕ) , ce qui
montre que
r
k=1
Ker(ϕ k ) n'est pas inclus dans Ker(ϕ).
Par contraposition : si
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ) alors ϕ est combinaison
linéaire de la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
3. On peut se ramener au cas précédent en considérant une sous-famille libre de
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Plus précisément, si la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) n'est pas nulle, elle engendre un sousespace vectoriel de E ∗ qui n'est pas réduit à 0 et on peut donc en extraire une base
de ce sous-espace. En revanche, si tous les ϕ k sont nuls, l'espace engendré est réduit
à 0 mais ce cas particulier peut être étudié simplement à part.
• Si Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) = {0} alors ϕ 1 = · · · = ϕ r = 0. En particulier,
Ker(ϕ 1 ) = · · · = Ker(ϕ r ) = E et
r
k=1
Ker(ϕ k ) = E.
On a donc
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ) ⇔ E ⊂ Ker(ϕ) ⇔ Ker(ϕ) = E ⇔ ϕ = 0.
Ainsi, si i) est vérifiée, on a ϕ = 0 qui est bien combinaison linéaire de la
famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
• Supposons Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) = / {0} .
Soit (ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) une base de Vect(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) extraite de la famille
(ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ).
Alors chaque ϕ k (pour 1 k r) est combinaison linéaire de la famille
(ϕ i 1 ,. . . ,ϕ i s ) .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire