1. Démontrer ii) ⇒ i).
2. Démontrer i) ⇒ ii) dans le cas où la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) est libre. On pourra
utiliser les résultats de l'exercice précédent sur la base antéduale et raisonner par
contraposition.
3. Démontrer i) ⇒ ii) dans le cas général en se ramenant au cas traité précédemment.
1. Cette implication est plus simple que la réciproque pour deux raisons classiques.
Tout d'abord, pour montrer une inclusion A ⊂ B, le raisonnement est souvent du
type : soit « x ∈ A, . . ., donc x ∈ B ». Nous avons un point de départ qui consiste
à partir d'un élément quelconque de A et nous devons vérifier qu'il est bien élément
de B.
Ensuite, l'hypothèse nous permet d'affirmer l'existence de scalaires λ 1 ,. . . ,λ r tels
que ϕ =
r
k=1
λ k ϕ k . Nous pouvons les introduire dès le début du raisonnement et
nous en servir pour vérifier l'inclusion demandée.
Pour la réciproque, nous devons montrer l'existence des scalaires λ k , tâche a priori
plus difficile. D'une manière générale, il est toujours plus ardu de démontrer l'existence d'un objet (ce que demande i) ⇒ ii)) que de vérifier une propriété (ce que
demande ii) ⇒ i)).
Supposons ii) et considérons des scalaires λ 1 ,. . . ,λ r tels que
ϕ = λ 1 ϕ 1 + · · · + λ r ϕ r .
Soit x ∈
r
k=1
Ker(ϕ k ). Alors ϕ 1 (x) = · · · = ϕ r (x) = 0 donc
ϕ(x) = λ 1 ϕ 1 (x) + · · · + λ r ϕ r (x) = 0
soit x ∈ Ker(ϕ).
Ainsi,
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ).
2. Pour raisonner par contraposition nous allons supposer que ϕ n'est pas combinaison linéaire des ϕ k et en déduire que
r
k=1
Ker(ϕ k ) n'est pas inclus dans Ker(ϕ),
i.e. qu'il existe un vecteur x qui appartient à
r
k=1
Ker(ϕ k ) mais pas à Ker(ϕ).
Autrement dit, ϕ 1 (x) = · · · = ϕ r (x) = 0 mais ϕ(x) = / 0.
Pour utiliser la notion de base antéduale il nous faut une base de E ∗ . C'est
« presque » le cas dans les hypothèses puisqu'on a une famille libre : nous pouvons
donc utiliser le théorème de la base incomplète pour la compléter en une base
de E ∗ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
57
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
2. Démontrer i) ⇒ ii) dans le cas où la famille (ϕ 1 ,. . . ,ϕ r ) est libre. On pourra
utiliser les résultats de l'exercice précédent sur la base antéduale et raisonner par
contraposition.
3. Démontrer i) ⇒ ii) dans le cas général en se ramenant au cas traité précédemment.
1. Cette implication est plus simple que la réciproque pour deux raisons classiques.
Tout d'abord, pour montrer une inclusion A ⊂ B, le raisonnement est souvent du
type : soit « x ∈ A, . . ., donc x ∈ B ». Nous avons un point de départ qui consiste
à partir d'un élément quelconque de A et nous devons vérifier qu'il est bien élément
de B.
Ensuite, l'hypothèse nous permet d'affirmer l'existence de scalaires λ 1 ,. . . ,λ r tels
que ϕ =
r
k=1
λ k ϕ k . Nous pouvons les introduire dès le début du raisonnement et
nous en servir pour vérifier l'inclusion demandée.
Pour la réciproque, nous devons montrer l'existence des scalaires λ k , tâche a priori
plus difficile. D'une manière générale, il est toujours plus ardu de démontrer l'existence d'un objet (ce que demande i) ⇒ ii)) que de vérifier une propriété (ce que
demande ii) ⇒ i)).
Supposons ii) et considérons des scalaires λ 1 ,. . . ,λ r tels que
ϕ = λ 1 ϕ 1 + · · · + λ r ϕ r .
Soit x ∈
r
k=1
Ker(ϕ k ). Alors ϕ 1 (x) = · · · = ϕ r (x) = 0 donc
ϕ(x) = λ 1 ϕ 1 (x) + · · · + λ r ϕ r (x) = 0
soit x ∈ Ker(ϕ).
Ainsi,
r
k=1
Ker(ϕ k ) ⊂ Ker(ϕ).
2. Pour raisonner par contraposition nous allons supposer que ϕ n'est pas combinaison linéaire des ϕ k et en déduire que
r
k=1
Ker(ϕ k ) n'est pas inclus dans Ker(ϕ),
i.e. qu'il existe un vecteur x qui appartient à
r
k=1
Ker(ϕ k ) mais pas à Ker(ϕ).
Autrement dit, ϕ 1 (x) = · · · = ϕ r (x) = 0 mais ϕ(x) = / 0.
Pour utiliser la notion de base antéduale il nous faut une base de E ∗ . C'est
« presque » le cas dans les hypothèses puisqu'on a une famille libre : nous pouvons
donc utiliser le théorème de la base incomplète pour la compléter en une base
de E ∗ .
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire