et que F est stable par v alors l'endomorphisme v F de F induit par v est diagonalisable (car v l'est) et l'endomorphisme u F induit par u est une homothétie (par définition d'un sous-espace propre). On peut donc trouver une base de F constituée de
vecteurs propres de v F et qui seront automatiquement vecteurs propres de u F . Il faudra ensuite « remonter » à l'espace E et aux endomorphismes u et v ; pour cela, on
pourra utiliser le fait que E est la somme directe des sous-espaces propres de u.
Il faut donc savoir si les sous-espaces propres de u sont bien stables par v.
Justement, il est supposé que u et v commutent, donc tout noyau d'un polynôme de
l'un est stable par l'autre : en particulier, tout sous-espace propre de u est stable
par v.
ii) ⇒ i) :
u et v commutant, tout noyau ou image d'un polynôme de l'un est stable
par l'autre ; en particulier, tout sous-espace propre de l'un est stable par
l'autre.
De plus, tout endomorphisme induit sur un sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable. Notons λ 1 ,. . . ,λ r les valeurs
propres distinctes de u et E k = Ker(u − λ k Id) les sous-espaces propres
associés.
Pour chaque k, E k est stable par v car u et v commutent et E k est le noyau
d'un polynôme en u. v induit donc un endomorphisme v k de E k . v étant diagonalisable, v k l'est également : il existe une base B k de E k constituée de
vecteurs propres de v k (et donc de v).
Par ailleurs, E k est un sous-espace propre de u : tous ses éléments sont donc
vecteurs propres de u. En particulier, les vecteurs de la base B k sont propres
pour u. Ainsi, B k est une base de E k dont tous les éléments sont vecteurs
propres de u et de v.
Soit B la famille de vecteurs obtenue en concaténant B 1 ,. . . ,B r . Comme
chaque famille B k est une base de E k et que E est la somme directe des E k ,
B est une base de E. Dans cette base, les matrices de u et de v sont diagonales.
2. Si tous les éléments de A sont des homothéties, il n'y a rien à faire : la matrice
d'une homothétie dans n'importe quelle base est diagonale et donc n'importe quelle
base de E convient.
Dans le cas contraire, l'un des éléments de A n'est pas une homothétie : nous pouvons nous ramener à des espaces de dimension plus faible (pour pouvoir raisonner
par récurrence sur la dimension) en considérant ses sous-espaces propres. En effet,
un endomorphisme diagonalisable qui n'est pas une homothétie possède plusieurs
sous-espaces propres, qui sont donc tous de dimensions strictement inférieures à
celle de E.
Pour n ∈ N ∗ posons H n : « Si E est un espace vectoriel de dimension n, A
un sous-ensemble non vide de L(E) dont les éléments sont diagonalisables
et commutent deux à deux, alors il existe une base B de E telle que, pour
tout f ∈ A, Mat B ( f ) est diagonale ».
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
49
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
vecteurs propres de v F et qui seront automatiquement vecteurs propres de u F . Il faudra ensuite « remonter » à l'espace E et aux endomorphismes u et v ; pour cela, on
pourra utiliser le fait que E est la somme directe des sous-espaces propres de u.
Il faut donc savoir si les sous-espaces propres de u sont bien stables par v.
Justement, il est supposé que u et v commutent, donc tout noyau d'un polynôme de
l'un est stable par l'autre : en particulier, tout sous-espace propre de u est stable
par v.
ii) ⇒ i) :
u et v commutant, tout noyau ou image d'un polynôme de l'un est stable
par l'autre ; en particulier, tout sous-espace propre de l'un est stable par
l'autre.
De plus, tout endomorphisme induit sur un sous-espace stable par un endomorphisme diagonalisable est diagonalisable. Notons λ 1 ,. . . ,λ r les valeurs
propres distinctes de u et E k = Ker(u − λ k Id) les sous-espaces propres
associés.
Pour chaque k, E k est stable par v car u et v commutent et E k est le noyau
d'un polynôme en u. v induit donc un endomorphisme v k de E k . v étant diagonalisable, v k l'est également : il existe une base B k de E k constituée de
vecteurs propres de v k (et donc de v).
Par ailleurs, E k est un sous-espace propre de u : tous ses éléments sont donc
vecteurs propres de u. En particulier, les vecteurs de la base B k sont propres
pour u. Ainsi, B k est une base de E k dont tous les éléments sont vecteurs
propres de u et de v.
Soit B la famille de vecteurs obtenue en concaténant B 1 ,. . . ,B r . Comme
chaque famille B k est une base de E k et que E est la somme directe des E k ,
B est une base de E. Dans cette base, les matrices de u et de v sont diagonales.
2. Si tous les éléments de A sont des homothéties, il n'y a rien à faire : la matrice
d'une homothétie dans n'importe quelle base est diagonale et donc n'importe quelle
base de E convient.
Dans le cas contraire, l'un des éléments de A n'est pas une homothétie : nous pouvons nous ramener à des espaces de dimension plus faible (pour pouvoir raisonner
par récurrence sur la dimension) en considérant ses sous-espaces propres. En effet,
un endomorphisme diagonalisable qui n'est pas une homothétie possède plusieurs
sous-espaces propres, qui sont donc tous de dimensions strictement inférieures à
celle de E.
Pour n ∈ N ∗ posons H n : « Si E est un espace vectoriel de dimension n, A
un sous-ensemble non vide de L(E) dont les éléments sont diagonalisables
et commutent deux à deux, alors il existe une base B de E telle que, pour
tout f ∈ A, Mat B ( f ) est diagonale ».
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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