Cette matrice est de rang 2 donc dim(Ker( f − 2 Id)) = 1.
En particulier, la somme des dimensions des sous-espaces propres est 3 si,
et seulement si, ac = b.
Ainsi : si d = 1 et a c = b, A est diagonalisable. Si d = 1 et a c = / b, A
n'est pas diagonalisable.
La condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité peut se résumer ainsi :
d /
∈ {1,2} ou (c,d) = (0,2) ou (b,d) = (a c,1).
Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N ∗ .
1. Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) il existe une base B de E telle que Mat B (u) et Mat B (v) sont diagonales ;
ii) u ◦ v = v ◦ u.
2. Soit A un sous-ensemble non vide de L(E) dont tous les éléments sont diagonalisables. On suppose que, pour tout ( f,g) ∈ A 2 , f ◦ g = g ◦ f . Montrer qu'il
existe une base B de E telle que, pour tout f ∈ A, Mat B ( f ) est diagonale.
On pourra raisonner par récurrence sur n en distinguant le cas où tous les éléments de A sont des homothéties.
1. Rappelons une propriété fondamentale des sous-espaces propres : si deux endomorphismes d'un espace vectoriel commutent, tout sous-espace propre de l'un est
stable par l'autre.
i) ⇒ ii) : notons (e 1 ,. . . ,e n ) les vecteurs de B. Il existe des scalaires
λ 1 ,. . . ,λ n et µ 1 ,. . . µ n tels que, pour tout i : u(e i ) = λ i e i et v(e i ) = µ i e i .
En particulier, u(v(e i )) = λ i µ i e i et v(u(e i )) = µ i λ i e i ; u ◦ v et v ◦ u
coïncident sur la base B et sont donc égaux.
Alternativement, on aurait pu considérer U (resp. V) la matrice de u (resp. v) dans
B et constater que, ces deux matrices étant diagonales, on a U V = V U.
L'autre implication est plus difficile. Nous savons que E possède une base de vecteurs propres pour u et aussi une base de vecteurs propres pour v. Le but de la question est de démontrer qu'il existe une base constituée de vecteurs propres pour u et
v simultanément. Le problème est qu'une base de vecteurs propres pour l'un n'a a
priori aucune raison d'être une base de vecteurs propres pour l'autre.
Cependant, si u est une homothétie, tout se simplifie : toute base de E est une base
de vecteurs propres pour u donc n'importe quelle base de vecteurs propres pour v
est aussi une base de vecteurs propres pour u.
Dans le cas général, u n'est pas forcément une homothétie mais u induit une homothétie sur chacun de ses sous-espaces propres. Si F est un sous-espace propre de u
48
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
En particulier, la somme des dimensions des sous-espaces propres est 3 si,
et seulement si, ac = b.
Ainsi : si d = 1 et a c = b, A est diagonalisable. Si d = 1 et a c = / b, A
n'est pas diagonalisable.
La condition nécessaire et suffisante de diagonalisabilité peut se résumer ainsi :
d /
∈ {1,2} ou (c,d) = (0,2) ou (b,d) = (a c,1).
Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie n ∈ N ∗ .
1. Soient u et v deux endomorphismes diagonalisables de E. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) il existe une base B de E telle que Mat B (u) et Mat B (v) sont diagonales ;
ii) u ◦ v = v ◦ u.
2. Soit A un sous-ensemble non vide de L(E) dont tous les éléments sont diagonalisables. On suppose que, pour tout ( f,g) ∈ A 2 , f ◦ g = g ◦ f . Montrer qu'il
existe une base B de E telle que, pour tout f ∈ A, Mat B ( f ) est diagonale.
On pourra raisonner par récurrence sur n en distinguant le cas où tous les éléments de A sont des homothéties.
1. Rappelons une propriété fondamentale des sous-espaces propres : si deux endomorphismes d'un espace vectoriel commutent, tout sous-espace propre de l'un est
stable par l'autre.
i) ⇒ ii) : notons (e 1 ,. . . ,e n ) les vecteurs de B. Il existe des scalaires
λ 1 ,. . . ,λ n et µ 1 ,. . . µ n tels que, pour tout i : u(e i ) = λ i e i et v(e i ) = µ i e i .
En particulier, u(v(e i )) = λ i µ i e i et v(u(e i )) = µ i λ i e i ; u ◦ v et v ◦ u
coïncident sur la base B et sont donc égaux.
Alternativement, on aurait pu considérer U (resp. V) la matrice de u (resp. v) dans
B et constater que, ces deux matrices étant diagonales, on a U V = V U.
L'autre implication est plus difficile. Nous savons que E possède une base de vecteurs propres pour u et aussi une base de vecteurs propres pour v. Le but de la question est de démontrer qu'il existe une base constituée de vecteurs propres pour u et
v simultanément. Le problème est qu'une base de vecteurs propres pour l'un n'a a
priori aucune raison d'être une base de vecteurs propres pour l'autre.
Cependant, si u est une homothétie, tout se simplifie : toute base de E est une base
de vecteurs propres pour u donc n'importe quelle base de vecteurs propres pour v
est aussi une base de vecteurs propres pour u.
Dans le cas général, u n'est pas forcément une homothétie mais u induit une homothétie sur chacun de ses sous-espaces propres. Si F est un sous-espace propre de u
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire