La matrice A étant triangulaire ses valeurs propres sont ses coefficients diagonaux : 1, 2 et d.
Supposons d /
∈ {1,2}. A est alors une matrice 3 × 3 possédant 3 valeurs
propres distinctes donc A est diagonalisable.
Dans les cas d = 1 et d = 2, les rangs de A − I 3 et A − 2 I 3 se calculent sans peine.
Supposons d = 2. Les valeurs propres de A sont 1 et 2.
D'une part,
A − I 3 =


0 a b
0 1 c
0 0 1

 .
Cette matrice est de rang au moins 2, car les deuxième et troisième colonnes
ne sont pas colinéaires, mais aussi de rang strictement inférieur à 3 car elle
n'est pas inversible (sa première colonne est nulle). Ainsi, rg(A − I 3 ) = 2
donc, en notant f l'endomorphisme de K 3 canoniquement associé à A :
dim(Ker( f − Id)) = 1 .
D'autre part,
A − 2 I 3 =


−1 a b
0 0 c
0 0 0

 .
Si c = 0, cette matrice est de rang 1. Sinon, elle est de rang 2. La dimension de Ker( f − 2 Id) est donc 2 si c = 0 et 1 si c = / 0.
En particulier, la somme des dimensions des sous-espaces propres est 3 si,
et seulement si, c = 0. Ainsi : si d = 2 et c = 0, A est diagonalisable. Si
d = 2 et c = / 0, A n'est pas diagonalisable.
Traitons enfin le dernier cas.
Supposons d = 1. Les valeurs propres de A sont 1 et 2.
D'une part,
A − I 3 =


0 a b
0 1 c
0 0 0

 .
Cette matrice est de rang 1 ou 2 selon que a c = b ou non. Ker( f − Id)
est donc de dimension 1 (si a c = / b) ou 2 (si a c = b).
D'autre part,
A − 2 I 3 =


−1 a b
0 0 c
0 0 −1

 .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire