Il s'agit désormais d'inverser le système précédent pour exprimer les e i en fonction
des u j . Ceci est facile car la matrice est triangulaire.
La définition de (u 1 ,u 2 ,u 3 ) donnée précédemment permet d'obtenir aisément :
e 1 = u 1 + 2 u 2 − 2 u 3
e 2 =
u 2 − 2 u 3
e 3 =
u 3
La matrice de passage de (u 1 ,u 2 ,u 3 ) à (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est donc :
P
−1
=
1
0 0
2
1 0
−2 −2 1
.
Enfin, en notant B la matrice de f dans la base (u 1 ,u 2 ,u 3 ), on a
P −1 AP = B. On en déduit :
B =
1 −2 0
0 1 1
0 0 1
Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres
Pour quelles valeurs des scalaires a, b, c et d la matrice
A =
1 a b
0 2 c
0 0 d
est-elle diagonalisable ?
Cette matrice est triangulaire : ses valeurs propres sont donc simplement ses coefficients diagonaux.
Partant des valeurs propres, il suffit de déterminer la dimension des sous-espaces
propres associés pour déterminer si la matrice est ou non diagonalisable : une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice n × n soit diagonalisable est que
la somme des dimensions des sous-espaces propres soit n. Un tel calcul de dimension de noyau peut se ramener à un calcul, plus simple, de rang via le théorème du
même nom.
Il y a visiblement trois cas à distinguer selon que d = 1, d = 2 ou d /
∈ {1,2}. En
effet, dans ce dernier cas, la matrice a trois valeurs propres distinctes. D'une manière
générale, si une matrice n × n possède n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.
46
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
des u j . Ceci est facile car la matrice est triangulaire.
La définition de (u 1 ,u 2 ,u 3 ) donnée précédemment permet d'obtenir aisément :
e 1 = u 1 + 2 u 2 − 2 u 3
e 2 =
u 2 − 2 u 3
e 3 =
u 3
La matrice de passage de (u 1 ,u 2 ,u 3 ) à (e 1 ,e 2 ,e 3 ) est donc :
P
−1
=
1
0 0
2
1 0
−2 −2 1
.
Enfin, en notant B la matrice de f dans la base (u 1 ,u 2 ,u 3 ), on a
P −1 AP = B. On en déduit :
B =
1 −2 0
0 1 1
0 0 1
Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres
Pour quelles valeurs des scalaires a, b, c et d la matrice
A =
1 a b
0 2 c
0 0 d
est-elle diagonalisable ?
Cette matrice est triangulaire : ses valeurs propres sont donc simplement ses coefficients diagonaux.
Partant des valeurs propres, il suffit de déterminer la dimension des sous-espaces
propres associés pour déterminer si la matrice est ou non diagonalisable : une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice n × n soit diagonalisable est que
la somme des dimensions des sous-espaces propres soit n. Un tel calcul de dimension de noyau peut se ramener à un calcul, plus simple, de rang via le théorème du
même nom.
Il y a visiblement trois cas à distinguer selon que d = 1, d = 2 ou d /
∈ {1,2}. En
effet, dans ce dernier cas, la matrice a trois valeurs propres distinctes. D'une manière
générale, si une matrice n × n possède n valeurs propres distinctes, elle est diagonalisable.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire