On vérifie facilement que u 1 = e 1 − 2 e 2 − 2 e 3 est un vecteur non nul de
E 1 , qui est de dimension 1. La famille (u 1 ) est donc une base de E 1 .
Cherchons à compléter (u 1 ) en une base de Ker(( f − Id) 2 ). Pour cela, il suffit de
trouver un vecteur u 2 ∈ Ker(( f − Id) 2 ) non colinéaire à u 1 .
Si u 2 = x e 1 + y e 2 + z e 3 , la relation ( f − Id) 2 (u 2 ) = 0 donne 2 x + 2 y − z = 0 .
On peut chercher u 2 convenant avec un maximum de coordonnées nulles pour faciliter les calculs ultérieurs.
Si deux des coordonnées sont nulles, la relation 2x + 2y − z = 0 montre que la
troisième est nulle et donc u 2 également, ce qui est exclu.
Si x = 0, alors on peut prendre y = 1 et z = 2. On obtient ainsi bien un vecteur qui
n'est pas colinéaire à u 1 .
Le vecteur e 2 + 2 e 3 n'est pas colinéaire à u 1 et est bien élément de E 2
donc (u 1 ,u 2 ) est une famille libre de E 2 . Comme dim(E 2 ) = 2, c'est bien
une base de E 2 telle que u 1 est une base de E 1 .
On aurait aussi bien pu choisir y = 0 puis x = 1 et z = 2, ou z = 0 puis x = 1 et
y = −1, ou même des coordonnées toutes non nulles, comme x = y = 1 et z = 4.
Enfin, on peut prendre pour u 3 n'importe quel vecteur qui n'est pas élément de E 2 ,
i.e. u 3 = x e 1 + y e 2 + z e 3 avec 2 x + 2 y − z = / 0 . Encore une fois, une infinité de
choix se présentent mais il y en a de plus simples que d'autres : prendre deux coordonnées nulles et la troisième égale à 1. N'importe lequel des trois vecteurs e 1 , e 2 et
e 3 est un choix convenable pour u 3 . Nous allons cependant choisir u 3 = e 3 afin que
la matrice de passage soit triangulaire : vu qu'il faudra effectuer un calcul de changement de base, donc en particulier inverser cette matrice de passage, autant la choisir de sorte que les calculs soient les plus simples possibles !
Le vecteur u 3 = e 3 n'appartient pas à E 2 ; la famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est donc
une famille libre de E 3 , qui est de dimension 3, et en est donc une base.
En résumé, nous avons :
u 1 = e 1 − 2 e 2 − 2 e 3
u 2 =
e 2 + 2 e 3
u 3 =
e 3
Ceci donne la matrice de passage demandée.
La matrice de passage de (e 1 ,e 2 ,e 3 ) à (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est
P =
1 0 0
−2 1 0
−2 2 1
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
45
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
E 1 , qui est de dimension 1. La famille (u 1 ) est donc une base de E 1 .
Cherchons à compléter (u 1 ) en une base de Ker(( f − Id) 2 ). Pour cela, il suffit de
trouver un vecteur u 2 ∈ Ker(( f − Id) 2 ) non colinéaire à u 1 .
Si u 2 = x e 1 + y e 2 + z e 3 , la relation ( f − Id) 2 (u 2 ) = 0 donne 2 x + 2 y − z = 0 .
On peut chercher u 2 convenant avec un maximum de coordonnées nulles pour faciliter les calculs ultérieurs.
Si deux des coordonnées sont nulles, la relation 2x + 2y − z = 0 montre que la
troisième est nulle et donc u 2 également, ce qui est exclu.
Si x = 0, alors on peut prendre y = 1 et z = 2. On obtient ainsi bien un vecteur qui
n'est pas colinéaire à u 1 .
Le vecteur e 2 + 2 e 3 n'est pas colinéaire à u 1 et est bien élément de E 2
donc (u 1 ,u 2 ) est une famille libre de E 2 . Comme dim(E 2 ) = 2, c'est bien
une base de E 2 telle que u 1 est une base de E 1 .
On aurait aussi bien pu choisir y = 0 puis x = 1 et z = 2, ou z = 0 puis x = 1 et
y = −1, ou même des coordonnées toutes non nulles, comme x = y = 1 et z = 4.
Enfin, on peut prendre pour u 3 n'importe quel vecteur qui n'est pas élément de E 2 ,
i.e. u 3 = x e 1 + y e 2 + z e 3 avec 2 x + 2 y − z = / 0 . Encore une fois, une infinité de
choix se présentent mais il y en a de plus simples que d'autres : prendre deux coordonnées nulles et la troisième égale à 1. N'importe lequel des trois vecteurs e 1 , e 2 et
e 3 est un choix convenable pour u 3 . Nous allons cependant choisir u 3 = e 3 afin que
la matrice de passage soit triangulaire : vu qu'il faudra effectuer un calcul de changement de base, donc en particulier inverser cette matrice de passage, autant la choisir de sorte que les calculs soient les plus simples possibles !
Le vecteur u 3 = e 3 n'appartient pas à E 2 ; la famille (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est donc
une famille libre de E 3 , qui est de dimension 3, et en est donc une base.
En résumé, nous avons :
u 1 = e 1 − 2 e 2 − 2 e 3
u 2 =
e 2 + 2 e 3
u 3 =
e 3
Ceci donne la matrice de passage demandée.
La matrice de passage de (e 1 ,e 2 ,e 3 ) à (u 1 ,u 2 ,u 3 ) est
P =
1 0 0
−2 1 0
−2 2 1
.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
45
Chapitre 2 • Algèbre linéaire