• H 1 est vraie car toute matrice 1 × 1 est diagonale.
• Hérédité : supposons H n et considérons un espace vectoriel E de dimension n + 1 et A une partie non vide de L(E) dont les éléments sont diagonalisables et commutent.
Si tous les éléments de A sont des homothéties, n'importe quelle base de E
convient.
Sinon, soit un élément f de A qui n'est pas une homothétie. f est diagonalisable par hypothèse et, en notant E 1 ,. . . ,E r ses sous-espaces propres, on
a donc E =
r
k=1
E k .
Par ailleurs, f n'est pas une homothétie donc f a plusieurs valeurs propres.
Ainsi, r 2. On a donc dim(E 1 ) + · · · + dim(E r ) = n + 1, avec r 2 et
dim(E k ) 1 , ce qui impose dim(E k ) n .
Pour tout élément g de A, E k est stable par g, car f et g commutent.
L'endomorphisme g k de E k induit par g est diagonalisable, car g l'est. Enfin,
pour tous g et h ∈ A, g k ◦ h k = h k ◦ g k car g ◦ h = h ◦ g.
Ainsi, par hypothèse de récurrence (H p avec p = dim(E k ) n), il existe
une base B k de E k telle que, pour tout g ∈ A, Mat B k (g k ) est diagonale ;
autrement dit, B k est une base de E k dont tous les éléments sont vecteurs
propres de tous les élements de A.
Comme E =
r
k=1
E k la famille B obtenue en concaténant B 1 ,. . . ,B r est une
base de E.
Enfin, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, les vecteurs de B k sont vecteurs propres de
tous les éléments de A ; ainsi, les vecteurs de B sont vecteurs propres de
tous les éléments de A, ce qui montre que la matrice de n'importe quel élément de A dans B est diagonale.
Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle
1. Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C) de dimension finie n 1 et f un
endomorphisme de E. On suppose que, pour tout x ∈ E, f (x) ∈ K x. Démontrer
que f est une homothétie, i.e. qu'il existe un scalaire λ tel que f = λ Id.
2. Soit M ∈ M n (K) une matrice non nulle de trace nulle. Montrer qu'il existe
P ∈ G L n (K) telle que la première colonne de P −1 M P soit nulle, sauf le
deuxième coefficient qui vaut 1.
3. Montrer que toute matrice de M n (K) de trace nulle est semblable à une matrice
dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. On pourra raisonner par récurrence sur n.
1. Ce résultat n'a a priori rien d'évident. L'hypothèse est que, pour tout élément x
de E, il existe un scalaire λ x tel que f (x) = λ x x. La conclusion est qu'il existe un
scalaire λ tel que, pour tout élément x de E, f (x) = λ x. Ces deux énoncés diffèrent par l'ordre des quantificateurs : dans le premier cas, le scalaire dépend de x,
50
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
• Hérédité : supposons H n et considérons un espace vectoriel E de dimension n + 1 et A une partie non vide de L(E) dont les éléments sont diagonalisables et commutent.
Si tous les éléments de A sont des homothéties, n'importe quelle base de E
convient.
Sinon, soit un élément f de A qui n'est pas une homothétie. f est diagonalisable par hypothèse et, en notant E 1 ,. . . ,E r ses sous-espaces propres, on
a donc E =
r
k=1
E k .
Par ailleurs, f n'est pas une homothétie donc f a plusieurs valeurs propres.
Ainsi, r 2. On a donc dim(E 1 ) + · · · + dim(E r ) = n + 1, avec r 2 et
dim(E k ) 1 , ce qui impose dim(E k ) n .
Pour tout élément g de A, E k est stable par g, car f et g commutent.
L'endomorphisme g k de E k induit par g est diagonalisable, car g l'est. Enfin,
pour tous g et h ∈ A, g k ◦ h k = h k ◦ g k car g ◦ h = h ◦ g.
Ainsi, par hypothèse de récurrence (H p avec p = dim(E k ) n), il existe
une base B k de E k telle que, pour tout g ∈ A, Mat B k (g k ) est diagonale ;
autrement dit, B k est une base de E k dont tous les éléments sont vecteurs
propres de tous les élements de A.
Comme E =
r
k=1
E k la famille B obtenue en concaténant B 1 ,. . . ,B r est une
base de E.
Enfin, pour tout k ∈ {1,. . . ,r}, les vecteurs de B k sont vecteurs propres de
tous les éléments de A ; ainsi, les vecteurs de B sont vecteurs propres de
tous les éléments de A, ce qui montre que la matrice de n'importe quel élément de A dans B est diagonale.
Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle
1. Soit E un K-espace vectoriel (K = R ou C) de dimension finie n 1 et f un
endomorphisme de E. On suppose que, pour tout x ∈ E, f (x) ∈ K x. Démontrer
que f est une homothétie, i.e. qu'il existe un scalaire λ tel que f = λ Id.
2. Soit M ∈ M n (K) une matrice non nulle de trace nulle. Montrer qu'il existe
P ∈ G L n (K) telle que la première colonne de P −1 M P soit nulle, sauf le
deuxième coefficient qui vaut 1.
3. Montrer que toute matrice de M n (K) de trace nulle est semblable à une matrice
dont tous les coefficients diagonaux sont nuls. On pourra raisonner par récurrence sur n.
1. Ce résultat n'a a priori rien d'évident. L'hypothèse est que, pour tout élément x
de E, il existe un scalaire λ x tel que f (x) = λ x x. La conclusion est qu'il existe un
scalaire λ tel que, pour tout élément x de E, f (x) = λ x. Ces deux énoncés diffèrent par l'ordre des quantificateurs : dans le premier cas, le scalaire dépend de x,
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire