Exercice 3.4 : Endormorphisme normal
80
Exercice 3.5 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice symétrique
83
Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice définie positive
86
Exercice 3.7 : Décomposition polaire
88
Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur les déterminants
89
4 Espaces vectoriels normés
93
Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules
93
Exercice 4.2 : Boule unité
94
Exercice 4.3 : Comparaison de normes
94
Exercice 4.4 : Normes équivalentes
96
Exercice 4.5 : Partie dense dans un ensemble de matrices
98
Exercice 4.6 : Partie dense dans un ensemble de polynômes
99
Exercice 4.7 : Fonction continue
100
Exercice 4.8 : Application linéaire non continue
100
Exercice 4.9 : Fonction uniformément continue
101
Exercice 4.10 : Applications linéaires non continues
102
Exercice 4.11 : Norme subordonnée
104
Exercice 4.12 : Compacité du groupe des matrices orthogonales
105
Exercice 4.13 : Un fermé borné non compact
106
Exercice 4.14 : Somme d'un compact et d'un fermé
106
Exercice 4.15 : Suites de Cauchy
107
Exercice 4.16 : Espaces complets
109
5 Séries numériques
111
Exercice 5.1 : Nature de séries
111
Exercice 5.2 : Nature de séries II
116
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries
122
Exercice 5.4 : Formule de Stirling
127
Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs
130
Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique
133
Exercice 5.7 : Un critère de convergence
135
Exercice 5.8 : Convergence et monotonie
139
Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries
142
Exercice 5.10 : Convergence de série et intégrabilité
151
Exercice 5.11 : Transformation d'Abel
159
Exercice 5.12 : Produits infinis
163
6 Suites et séries de fonctions
167
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I
167
Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II
169
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions
171
Exercice 6.4 : Fonction ζ de Riemann
174
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions
180
Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions
183
Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme
188
IV
Table des matières
80
Exercice 3.5 : Une inégalité sur le déterminant d'une matrice symétrique
83
Exercice 3.6 : Racine carrée d'une matrice définie positive
86
Exercice 3.7 : Décomposition polaire
88
Exercice 3.8 : Congruence simultanée et inégalités sur les déterminants
89
4 Espaces vectoriels normés
93
Exercice 4.1 : Réunion et intersection de boules
93
Exercice 4.2 : Boule unité
94
Exercice 4.3 : Comparaison de normes
94
Exercice 4.4 : Normes équivalentes
96
Exercice 4.5 : Partie dense dans un ensemble de matrices
98
Exercice 4.6 : Partie dense dans un ensemble de polynômes
99
Exercice 4.7 : Fonction continue
100
Exercice 4.8 : Application linéaire non continue
100
Exercice 4.9 : Fonction uniformément continue
101
Exercice 4.10 : Applications linéaires non continues
102
Exercice 4.11 : Norme subordonnée
104
Exercice 4.12 : Compacité du groupe des matrices orthogonales
105
Exercice 4.13 : Un fermé borné non compact
106
Exercice 4.14 : Somme d'un compact et d'un fermé
106
Exercice 4.15 : Suites de Cauchy
107
Exercice 4.16 : Espaces complets
109
5 Séries numériques
111
Exercice 5.1 : Nature de séries
111
Exercice 5.2 : Nature de séries II
116
Exercice 5.3 : Quelques calculs explicites de sommes de séries
122
Exercice 5.4 : Formule de Stirling
127
Exercice 5.5 : Séparation des termes pairs et impairs
130
Exercice 5.6 : Convergence et développement asymptotique
133
Exercice 5.7 : Un critère de convergence
135
Exercice 5.8 : Convergence et monotonie
139
Exercice 5.9 : Équivalents et restes de séries
142
Exercice 5.10 : Convergence de série et intégrabilité
151
Exercice 5.11 : Transformation d'Abel
159
Exercice 5.12 : Produits infinis
163
6 Suites et séries de fonctions
167
Exercice 6.1 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions I
167
Exercice 6.2 : Convergence uniforme d'une suite de fonctions II
169
Exercice 6.3 : Convergence uniforme d'une série de fonctions
171
Exercice 6.4 : Fonction ζ de Riemann
174
Exercice 6.5 : Régularité d'une série de fonctions
180
Exercice 6.6 : Calcul d'intégrales à l'aide de séries de fonctions
183
Exercice 6.7 : Intégration et convergence uniforme
188
IV
Table des matières