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1 Algèbre générale
3
Exercice 1.1 : Résolution d’un système
3
Exercice 1.2 : Configuration géométrique
3
Exercice 1.3 : Utilisation d’une base non canonique de R n [X]
5
Exercice 1.4 : Dés pipés et polynômes
6
Exercice 1.5 : Retrouver la fraction rationnelle
7
Exercice 1.6 : Groupe engendré par deux éléments
7
Exercice 1.7 : Radical d’un idéal
8
Exercice 1.8 : Anneau Z[
√
2]
10
Exercice 1.9 : Une congruence
12
Exercice 1.10 : Calculs dans Z/nZ
13
Exercice 1.11 : Lemme chinois et application
15
Exercice 1.12 : Nombres de Fermat
16
Exercice 1.13 : Une propriété du groupe symétrique
17
Exercice 1.14 : Système de générateurs du groupe orthogonal
17
2 Algèbre linéaire
21
Exercice 2.1 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de polynômes 21
Exercice 2.2 : Éléments propres d'un endomorphisme d'un espace de fonctions
25
Exercice 2.3 : Étude d'un endomorphisme d'un espace d'endomorphismes
28
Exercice 2.4 : Diagonalisation
31
Exercice 2.5 : Réduction
35
Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3
38
Exercice 2.7 : Trigonalisation
42
Exercice 2.8 : Réduction d'une matrice à paramètres
46
Exercice 2.9 : Diagonalisation simultanée
48
Exercice 2.10 : Réduction des matrices de trace nulle
50
Exercice 2.11 : Formes linéaires et base antéduale
53
Exercice 2.12 : Formes linéaires et hyperplans
56
Exercice 2.13 : Théorème de Cayley-Hamilton
60
Exercice 2.14 : Décomposition de Dunford
66
3 Algèbre bilinéaire
75
Exercice 3.1 : Noyaux, images et adjoint
75
Exercice 3.2 : Exemple de matrice définie positive
77
Exercice 3.3 : Construction de matrices positives
79
Table des matières