2. La question est de savoir si A possède un polynôme annulateur scindé à racines
simples. Commençons donc par étudier les racines de P, ce qui est facile puisque P
est de degré 2 : si le discriminant est strictement positif alors P possède deux
racines réelles distinctes et est donc scindé à racines simples.
Le discriminant de P est
((n a + 2 (b − a))
2
− 4 (n a (b − a) + (b − a)
2
) = n
2 a
2
> 0
donc P possède deux racines réelles distinctes.
P est un polynôme annulateur scindé à racines simples de A donc A est diagonalisable.
Par ailleurs, les valeurs propres de A sont racines de tout polynôme annulateur de
A, en particulier de P. À partir du discriminant de P calculé plus haut on obtient
aisément ses racines.
Les racines de P sont (n a + 2 (b − a) ± n a)/2 , i.e. b − a et
b + (n − 1) a.
Autrement dit, P = (X − (b − a)) (X − (b + (n − 1) a))
Comme P(A) = 0 , les valeurs propres de A sont toutes racines de P donc
appartiennent à {b − a,b + (n − 1) a} .
A priori, il pourrait se faire que l'un de ces réels ne soit pas valeur propre de A.
Cependant, nous savons que A est diagonalisable et a donc au moins une valeur
propre. De plus, une matrice diagonalisable qui n'a qu'une seule valeur propre λ est
en fait égale à λ I n , ce qui n'est pas le cas de A. A possède donc plusieurs valeurs
propres, ce qui assure que b − a et b + (n − 1) a sont bien valeurs propres de A.
Cependant, il est ici demandé de calculer les dimensions des sous-espaces propres
associés. Il va donc falloir effectuer quelques calculs. Une façon simple d'aborder
une telle question est de plutôt calculer des rangs.
Soit f l'endomorphisme de R n canoniquement associé à A. Comme
A − (b − a) I n = a J on a, d'après le théorème du rang :
dim(Ker( f − (b − a) Id)) = n − rg( f − (b − a) Id) =
n − rg(A − (b − a) I n ) = n − rg(a J).
Toutes les colonnes de a J sont colinéaires donc rg(a J) 1. Par ailleurs,
comme a = / 0, a J n'est pas nulle donc son rang n'est pas nul non plus.
Ainsi, rg(a J) = 1 donc dim(Ker( f − (b − a) Id)) = n − 1 .
Sachant que A est diagonalisable, le calcul de la dimension de l'autre sous-espace
propre est rapide.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
37
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
simples. Commençons donc par étudier les racines de P, ce qui est facile puisque P
est de degré 2 : si le discriminant est strictement positif alors P possède deux
racines réelles distinctes et est donc scindé à racines simples.
Le discriminant de P est
((n a + 2 (b − a))
2
− 4 (n a (b − a) + (b − a)
2
) = n
2 a
2
> 0
donc P possède deux racines réelles distinctes.
P est un polynôme annulateur scindé à racines simples de A donc A est diagonalisable.
Par ailleurs, les valeurs propres de A sont racines de tout polynôme annulateur de
A, en particulier de P. À partir du discriminant de P calculé plus haut on obtient
aisément ses racines.
Les racines de P sont (n a + 2 (b − a) ± n a)/2 , i.e. b − a et
b + (n − 1) a.
Autrement dit, P = (X − (b − a)) (X − (b + (n − 1) a))
Comme P(A) = 0 , les valeurs propres de A sont toutes racines de P donc
appartiennent à {b − a,b + (n − 1) a} .
A priori, il pourrait se faire que l'un de ces réels ne soit pas valeur propre de A.
Cependant, nous savons que A est diagonalisable et a donc au moins une valeur
propre. De plus, une matrice diagonalisable qui n'a qu'une seule valeur propre λ est
en fait égale à λ I n , ce qui n'est pas le cas de A. A possède donc plusieurs valeurs
propres, ce qui assure que b − a et b + (n − 1) a sont bien valeurs propres de A.
Cependant, il est ici demandé de calculer les dimensions des sous-espaces propres
associés. Il va donc falloir effectuer quelques calculs. Une façon simple d'aborder
une telle question est de plutôt calculer des rangs.
Soit f l'endomorphisme de R n canoniquement associé à A. Comme
A − (b − a) I n = a J on a, d'après le théorème du rang :
dim(Ker( f − (b − a) Id)) = n − rg( f − (b − a) Id) =
n − rg(A − (b − a) I n ) = n − rg(a J).
Toutes les colonnes de a J sont colinéaires donc rg(a J) 1. Par ailleurs,
comme a = / 0, a J n'est pas nulle donc son rang n'est pas nul non plus.
Ainsi, rg(a J) = 1 donc dim(Ker( f − (b − a) Id)) = n − 1 .
Sachant que A est diagonalisable, le calcul de la dimension de l'autre sous-espace
propre est rapide.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire