L'idéal est de pouvoir écrire A = λ I n + B avec λ scalaire. En effet, on a alors
λ I n B = B λ I n et on peut donc utiliser la formule du binôme de Newton pour calculer les puissances de A en fonction de celles de B. Ceci est intéressant quand les
puissances de B sont simples à calculer, ce qui est le cas, entre autres :
i) des matrices nilpotentes ;
ii) des matrices diagonales, parfois des matrices triangulaires ;
iii) des matrices dont tous les coefficients sont égaux ;
iv) des matrices « diagonales par blocs » avec de « petits » blocs.
Ici, nous pouvons faire apparaître la matrice J dont tous les coefficients sont égaux
à 1 : plus précisément, tous les coefficients de a J sont égaux à a donc les coefficients de a J + (b − a) I n sont égaux à a en dehors de la diagonale et b sur la diagonale, i.e. a J + (b − a) I n = A.
Par ailleurs, comme annoncé, les puissances de J sont faciles à calculer car tous les
coefficients de J 2 sont égaux à n, i.e. J 2 = n J.
Ainsi, lorsque nous calculerons A 2 , il apparaîtra un terme en J 2 que nous pourrons
exprimer en fonction de J, ce qui permettra de faire réapparaître A à l'aide de la relation A = a J + (b − a) I n et d'obtenir ainsi une relation entre A et A 2 .
Soit J la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Alors
A = a J + (b − a) I n . Par ailleurs, J 2 = n J.
Comme J et I n commutent on a
A
2
= a
2 J
2
+ (b − a)
2 I n + 2 a (b − a) J
soit, comme J 2 = n J,
A
2
= (n a
2
+ 2 a (b − a)) J + (b − a)
2 I n .
Comme a = / 0, on a J =
1
a
A −
b
a
− 1
I n . En remplaçant J par cette
expression dans l'égalité ci-dessus on obtient
A
2
= (n a
2
+ 2 a (b − a))
1
a
A −
b
a
− 1
I n
+ (b − a)
2 I n
soit, après simplification :
A
2
− (n a + 2 (b − a)) A + (n a (b − a) + (b − a)
2
) I n = 0.
Ainsi, le polynôme
P = X
2
− ((n a + 2 (b − a)) X + (n a (b − a) + (b − a)
2
)
est un polynôme annulateur de A.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire