base sans connaître la dimension de l'espace, il faut démontrer qu'elle est libre et
génératrice, alors qu'en connaissant la dimension on peut se contenter d'un argument de cardinal (une famille libre de cardinal la dimension de l'espace en est une
base). Cependant, cette question n'est ici pas posée.
La somme des dimensions des sous-espaces propres de A est n donc A est
diagonalisable.
A est donc semblable à la matrice





λ 1
0
λ 2
1 . . .
0
1





et en particulier a même déterminant, à savoir
λ 1 λ 2 = (1 +
√
n − 1)(1 −
√
n − 1) = 2 − n.
Si n = 2, les équations vérifiées par les éléments (x 1 ,x 2 ) ∈ E 3 se résument à
x 1 = x 2 = 0 ; ainsi, E 3 = {0} est 1 n'est pas valeur propre de A.
En revanche, comme
√
n − 1 = 1, λ 1 = 2 et λ 2 = 0 sont valeurs propres distinctes de sous-espaces propres associés respectifs R(−1,1) et R(1,1) et A est
encore diagonalisable.
Exercice 2.5 : Réduction
Soient un entier n 2 et A =


b
a
. . .
a
b

 ∈ M n (R) avec a = / 0.
1. Déterminer un polynôme annulateur de A.
2. A est-elle diagonalisable ? Déterminer ses valeurs propres et les dimensions de
ses sous-espaces propres.
3. Calculer det(A).
Remarquons que le cas a = 0 ne présenterait aucune difficulté puisqu'alors A serait
égale à b I n .
1. Nous savons d'après le théorème de Cayley-Hamilton que le polynôme caractéristique de A en est un polynôme annulateur. Cependant, il n'est pas du tout aisé à
calculer !
Pour déterminer un polynôme annulateur simple d'une matrice A, on peut essayer
de calculer les premières puissances de A et chercher une relation entre elles.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire