A étant diagonalisable, la somme des dimensions de ses sous-espaces
propres est n ; la dimension du sous-espace propre associé à b + (n − 1) a
est donc 1.
Le fait de savoir qu'une matrice est diagonalisable (par exemple lorsqu'on a
constaté qu'elle avait un polynôme annulateur scindé à racines simples) permet
d'abréger le calcul de la dimension des sous-espaces propres : la dernière dimension est imposée par le fait que la somme de toutes ces dimensions est égale à n.
Cependant, si l'on ne sait pas que la matrice est diagonalisable, il faut calculer
« à la main » toutes ces dimensions et voir si leur somme est égale à n pour conclure
quant à la diagonalisabilité.
3. Nous connaissons les valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres
associés, donc nous connaissons une matrice diagonale semblable à A sans avoir
besoin de calculer des matrices de passage !
D'après les questions précédentes, A est semblable à
b − a
0
. . .
b − a
0
b + (n − 1) a
.
En particulier, ces deux matrices ont même déterminant. On en déduit
det(A) = (b − a)
n−1
(b + (n − 1) a).
Remarquons qu'il n'était pas évident de calculer ce déterminant directement. De
plus, on peut vérifier facilement que la trace de cette matrice est bien égale à celle
de A, à savoir n b. C'est normal, car deux matrices semblables ont même trace, mais
c'est aussi un moyen simple de vérifier que l'on n'a pas commis d'erreur grossière :
si nous avions trouvé une autre valeur pour la trace on aurait pu affirmer qu'il y avait
une erreur.
Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3
Diagonaliser la matrice
A =
6
2 0
2
3 0
−10 −5 2
.
La matrice étant d'ordre 3 le calcul du polynôme caractéristique peut être un moyen
rapide de trouver les valeurs propres. Qui plus est, la présence des zéros de la dernière colonne simplifie grandement le calcul et la factorisation de ce polynôme.
38
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
propres est n ; la dimension du sous-espace propre associé à b + (n − 1) a
est donc 1.
Le fait de savoir qu'une matrice est diagonalisable (par exemple lorsqu'on a
constaté qu'elle avait un polynôme annulateur scindé à racines simples) permet
d'abréger le calcul de la dimension des sous-espaces propres : la dernière dimension est imposée par le fait que la somme de toutes ces dimensions est égale à n.
Cependant, si l'on ne sait pas que la matrice est diagonalisable, il faut calculer
« à la main » toutes ces dimensions et voir si leur somme est égale à n pour conclure
quant à la diagonalisabilité.
3. Nous connaissons les valeurs propres et les dimensions des sous-espaces propres
associés, donc nous connaissons une matrice diagonale semblable à A sans avoir
besoin de calculer des matrices de passage !
D'après les questions précédentes, A est semblable à
b − a
0
. . .
b − a
0
b + (n − 1) a
.
En particulier, ces deux matrices ont même déterminant. On en déduit
det(A) = (b − a)
n−1
(b + (n − 1) a).
Remarquons qu'il n'était pas évident de calculer ce déterminant directement. De
plus, on peut vérifier facilement que la trace de cette matrice est bien égale à celle
de A, à savoir n b. C'est normal, car deux matrices semblables ont même trace, mais
c'est aussi un moyen simple de vérifier que l'on n'a pas commis d'erreur grossière :
si nous avions trouvé une autre valeur pour la trace on aurait pu affirmer qu'il y avait
une erreur.
Exercice 2.6 : Réduction d'une matrice d'ordre 3
Diagonaliser la matrice
A =
6
2 0
2
3 0
−10 −5 2
.
La matrice étant d'ordre 3 le calcul du polynôme caractéristique peut être un moyen
rapide de trouver les valeurs propres. Qui plus est, la présence des zéros de la dernière colonne simplifie grandement le calcul et la factorisation de ce polynôme.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire