L'égalité AX = λ X est équivalente au système :
(S)

      
      
x 1 + · · · + x n = λ x 1
x 1 + x 2
= λ x 2
. . .
x 1 + x k
= λ x k
. . .
x 1 + x n
= λ x n
En particulier, pour k ∈ {2,. . . ,n} : x 1 = (λ − 1) x k . Ainsi, il est naturel de distinguer le cas λ = 1.
• Supposons λ = / 1. Alors les équations 2 à n donnent
∀k ∈ {2,. . . ,n},x k =
1
λ − 1
x 1
ce qui montre en particulier que x 2 = · · · = x n .
La première équation, compte tenu de ces égalités, se réduit alors à
x 1 + (n − 1) x 2 = λ x 1 .
Par ailleurs, nous avons vu que x 2 =
1
λ − 1
x 1 d'où enfin :
(n − 1) x 1 = (λ − 1)
2 x 1 .
Peut-on diviser par x 1 afin de déterminer les valeurs possibles de λ ? Si x 1 est nul,
alors pour k 2 : x k =
1
λ − 1
x 1 = 0. On a donc X = 0, ce qui contredit l'hypothèse faite sur X.
Si x 1 était nul, X serait nul, ce qui est exclu. Ainsi :
(n − 1) = (λ − 1)
2
d'où l'on tire les valeurs possibles de λ : si λ est une valeur propre de A distincte de 1 alors λ = 1 +
√
n − 1 ou λ = 1 −
√
n − 1 .
Remarquons que ces deux valeurs propres potentielles sont distinctes.
Il faut désormais déterminer si ce sont bien des valeurs propres de A et, si oui, déterminer le sous-espace propre associé.
Ce ne sera pas bien difficile car l'essentiel des calculs a déjà été effectué précédemment : il suffit de remplacer λ par l'une des deux valeurs possibles trouvées cidessus.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire