Soient λ 1 = 1 +
√
n − 1 et E 1 = Ker( f − λ 1 Id).
Si x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ E 1 alors, d'après les calculs précédents, on a
∀k ∈ {2,. . . ,n},x k =
1
λ − 1
x 1 =
1
√
n − 1
x 1 .
Autrement dit, x = x 1 (
√
n − 1,1,. . . ,1) donc E 1 ⊂ R(
√
n − 1,1,. . . ,1) .
Nous avons démontré une inclusion, il reste à regarder si l'inclusion réciproque est
vraie.
Réciproquement, le vecteur (
√
n − 1,1,. . . ,1) appartient à E 1 car on vérifie aisément que ce n-uplet est bien solution du système (S) pour λ = λ 1 .
En conclusion : 1 +
√
n − 1 est valeur propre de A et le sous-espace propre
associé est la droite R(
√
n − 1,1,. . . ,1).
Le cas de 1 −
√
n − 1 se traite identiquement.
Soit λ 2 = 1 −
√
n − 1 et E 2 = Ker( f − λ 2 Id).
Si x = (x 1 ,. . . ,x n ) ∈ E 2 alors, d'après les calculs précédents, on a
∀k ∈ {2,. . . ,n}, x k =
1
λ − 1
x 1 = −
1
√
n − 1
x 1 .
Autrement dit, x = x 1 (−
√
n − 1,1,. . . ,1) donc E 2 ⊂ R(−
√
n − 1,1,. . . ,1).
Réciproquement, le vecteur (−
√
n − 1,1,. . . ,1) appartient à E 2 car on
vérifie aisément que ce n-uplet est bien solution du système (S) pour
λ = λ 2 .
En conclusion : 1 −
√
n − 1 est valeur propre de A et le sous-espace propre
associé est la droite R(−
√
n − 1,1,. . . ,1) .
Il reste à étudier le cas λ = 1. Dans ce cas, le système (S) se simplifie considérablement.
• Supposons λ = 1 : le système (S) se réduit à deux équations :
x 1 + · · · + x n = 0
x 1
= 0
la première se simplifiant même en x 2 + · · · + x n = 0. Ainsi, en notant
E 3 = {(x 1 ,. . . ,x n ) : x 1 = 0 et x 2 + · · · + x n = 0}
on a Ker( f − Id) = E 3 .
Nous n'avons pas encore tout à fait démontré que 1 est valeur propre de f : il pourrait en effet se faire que E 3 soit réduit à {0}. Dans les calculs précédents, les sous© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire