3. Nous avons un lien simple entre polynômes et diagonalisation : un endomorphisme d'une espace vectoriel de dimension finie est diagonalisable si, et seulement
si, il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La question précédente nous fournit justement des renseignements sur les polynômes
en f et f . Plus précisément, l'égalité P(( f ) = P( f ) entraîne que P(( f ) = 0 si, et
seulement si, P( f ) = 0. C'est ce que nous allons vérifier dans un premier temps.
Il est clair que, si P( f ) = 0, alors P( f ) = 0 et donc P(( f ) = 0.
Réciproquement, si P( f ) = 0 alors P( f ) ◦ g = 0 pour tout endomorphisme g de E, en particulier pour g = Id E , ce qui donne P( f ) = 0.
Ainsi, f et f ont les mêmes polynômes annulateurs.
En particulier, f possède un annulateur scindé à racines simples si, et seulement si, f possède un annulateur scindé à racines simples, donc ( f ) est
diagonalisable si, et seulement si, f est diagonalisable.
4. Le fait que g ∈ Ker(( f − λId L(E) ) signifie f (g) = λ g , soit f ◦ g = λ g et
enfin ( f − λId) ◦ g = 0. Ceci est équivalent à l'inclusion Im(g) ⊂ Ker( f − λId).
Soit g ∈ L(E). Alors g ∈ Ker(( f − λId L(E) ) si, et seulement si,
f ◦ g = λ g.
Cette dernière relation est équivalente à ( f − λId) ◦ g = 0, elle-même
équivalente à Im(g) ⊂ Ker( f − λId). Ainsi :
Ker(( f − λId) = {g ∈ L(E) : Im(g) ⊂ Ker( f − λId)}.
Exercice 2.4 : Diagonalisation
Soient un entier n 3 et A =
1 · · · · · · 1
. . .
. . . 0
. . . 0
. . .
1
1
∈ M n (R).
Déterminer les éléments propres de A. Est-elle diagonalisable ? Que vaut son
déterminant ?
Nous allons d'abord déterminer les valeurs propres en cherchant les réels λ pour
lesquels le système AX = λ X (X ∈ M n,1 (R)) possède au moins une solution
X = / 0.
Soit f l'endomorphisme de R n canoniquement associé à A et λ ∈ R une
valeur propre de A. Un élément x = (x 1 ,. . . ,x n ) de R n est un vecteur
propre associé à f si, et seulement si, x = / 0 et f (x) = λ x. En notant
X =
x 1
. . .
x n
la matrice de x dans la base canonique, ces conditions sont
équivalentes à X = / 0 et AX = λ X.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
31
Chapitre 2 • Algèbre linéaire
si, il possède un polynôme annulateur scindé à racines simples.
La question précédente nous fournit justement des renseignements sur les polynômes
en f et f . Plus précisément, l'égalité P(( f ) = P( f ) entraîne que P(( f ) = 0 si, et
seulement si, P( f ) = 0. C'est ce que nous allons vérifier dans un premier temps.
Il est clair que, si P( f ) = 0, alors P( f ) = 0 et donc P(( f ) = 0.
Réciproquement, si P( f ) = 0 alors P( f ) ◦ g = 0 pour tout endomorphisme g de E, en particulier pour g = Id E , ce qui donne P( f ) = 0.
Ainsi, f et f ont les mêmes polynômes annulateurs.
En particulier, f possède un annulateur scindé à racines simples si, et seulement si, f possède un annulateur scindé à racines simples, donc ( f ) est
diagonalisable si, et seulement si, f est diagonalisable.
4. Le fait que g ∈ Ker(( f − λId L(E) ) signifie f (g) = λ g , soit f ◦ g = λ g et
enfin ( f − λId) ◦ g = 0. Ceci est équivalent à l'inclusion Im(g) ⊂ Ker( f − λId).
Soit g ∈ L(E). Alors g ∈ Ker(( f − λId L(E) ) si, et seulement si,
f ◦ g = λ g.
Cette dernière relation est équivalente à ( f − λId) ◦ g = 0, elle-même
équivalente à Im(g) ⊂ Ker( f − λId). Ainsi :
Ker(( f − λId) = {g ∈ L(E) : Im(g) ⊂ Ker( f − λId)}.
Exercice 2.4 : Diagonalisation
Soient un entier n 3 et A =
1 · · · · · · 1
. . .
. . . 0
. . . 0
. . .
1
1
∈ M n (R).
Déterminer les éléments propres de A. Est-elle diagonalisable ? Que vaut son
déterminant ?
Nous allons d'abord déterminer les valeurs propres en cherchant les réels λ pour
lesquels le système AX = λ X (X ∈ M n,1 (R)) possède au moins une solution
X = / 0.
Soit f l'endomorphisme de R n canoniquement associé à A et λ ∈ R une
valeur propre de A. Un élément x = (x 1 ,. . . ,x n ) de R n est un vecteur
propre associé à f si, et seulement si, x = / 0 et f (x) = λ x. En notant
X =
x 1
. . .
x n
la matrice de x dans la base canonique, ces conditions sont
équivalentes à X = / 0 et AX = λ X.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire