Pour n ∈ N posons H n : «
n
f = f n ».
• H 0 est vraie : en effet,
0
f = Id L(E) et f 0 = Id E , par définition de la
puissance 0 d'un endomorphisme d'un espace vectoriel.
Par ailleurs, pour tout g ∈ L(E), Id E (g) = Id E ◦ g = g donc
Id E = Id L(E) . On a donc bien
0
f = f 0 .
• Soit n ∈ N tel que H n est vraie. On a donc
n
f = f n i.e. :
∀g ∈ L(E),,
n
f (g) = f
n
◦ g.
On a alors successivement, pour tout g ∈ L(E) :
n+1
f (g) = f ((
n
f (g))
= f ( f n ◦ g)
= f ◦ ( f n ◦ g)
= f n+1 ◦ g
= f n+1 (g)
Ainsi,
n+1
f
= f n+1, i.e. H n+1 est vraie.
• En conlusion, H n est vraie pour tout n ∈ N.
Traitons maintenant le cas général tel que nous l'avons fait en préambule :
Soit P =
n
k=0
a k X
k
∈ K[X]. On a
P(( f ) =
n
k=0
a k
k
f
soit, pour tout g ∈ L(E) :
P(( f )(g) =
n
k=0
a k
k
f (g)
=
n
k=0
a k f k (g)
=
n
k=0
(a k f
k
◦ g)
=
n
k=0
a k f
k
◦ g
= P( f ) ◦ g
= P( f ) (g).
Ceci étant vrai pour tout g ∈ L(E) nous avons donc démontré :
∀P ∈ K[X],P(( f ) = P( f ) .
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire