1. Vérifier que, pour tout f ∈ L(E), f ∈ L(L(E)).
2. Soit f ∈ L(E). Montrer que, pour tout P ∈ K[X], P(( f ) = P( f ) .
3. En déduire que f est diagonalisable si, et seulement si, f l'est.
4. Soit λ ∈ K . Décrire Ker(( f − λ Id L(E) ) à l'aide de Ker( f − λ Id E ).
1. La notation ne doit pas effrayer : f est par définition une application de L(E)
dans lui-même. Dire que f ∈ L(L(E)) n'est donc rien d'autre que dire que f est
linéaire, i.e. que l'on a f (λ g + µ h) = λ f (g) + µ f (h) pour tous g et
h ∈ L(E) et λ et µ scalaires ; cette dernière relation peut enfin s'écrire
f ◦ (λ g + µ h) = λ f ◦ g + µ f ◦ h. Finalement, comme dans presque toutes les
questions demandant de vérifier qu'une application est linéaire, il suffit simplement
de le vérifier à partir de la définition.
Soit f ∈ L(E). Pour tous (g,h) ∈ L(E) 2 et (λ,µ) ∈ K 2 on a
f ◦ (λ g + µ h) = λ f ◦ g + µ f ◦ h
car f est linéaire. Ainsi :
f (λ g + µ h) = f ◦ (λ g + µ h)
= λ f ◦ g + µ f ◦ h
= λ f (g) + µ f (h)
et f est donc linéaire.
2. Si P =
n
k=0
a k X
k on a, par définition d'un polynôme d'endomorphismes,
P(( f ) =
n
k=0
a k
k
f .
Par ailleurs, pour tout g ∈ L(E),
P( f ) (g) = P( f ) ◦ g =
n
k=0
a k f
k
◦ g =
n
k=0
a k f
k
◦ g.
Pour démontrer que P(( f ) = P( f ) , il suffit donc de démontrer que
k
f (g) = f k ◦ g pour tout g ∈ L(E), i.e.
k
f = f k. Autrement dit, il suffit de
démontrer le résultat dans le cas particulier des monômes X k , ce qui est moins lourd
à écrire et se rédigera aisément par récurrence.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire