Ainsi : si
1
λ
− 1 > 0 alors 0 < λ < 1. Réciproquement, si 0 < λ < 1, on vérifie
facilement que
1
λ
− 1 > 0.
Enfin, il ne faut pas oublier de traiter le cas
1
λ
− 1 = 0, i.e. simplement λ = 1.
• Si
1
λ
− 1 < 0, i.e. λ < 0 ou λ > 1 : alors x
1
λ
−1 tend vers +∞ quand x
tend vers 0 + . Comme f est continue en 0, sa limite en 0 est finie, ce qui
impose k = 0 et donc f = 0. Ainsi, Ker(T − λ Id) = {0}, ce qui montre
que λ n'est pas valeur propre de T.
• Si
1
λ
− 1 = 0, i.e. λ = 1 : alors f (x) = k pour tout réel k > 0 et, f étant
continue en 0, il vient f (0) = k : la fonction f est donc constante égale à
k. Nous avons donc Ker(T − Id) ⊂ R.
Réciproquement, il est clair que toute fonction constante c vérfie T c = c ;
ainsi, Ker(T − Id) = R. 1 est donc bien valeur propre de T et le sousespace propre associé est R, l'espace des fonctions constantes.
• Si
1
λ
− 1 > 0, i.e. 0 < λ < 1 : alors x
1
λ
−1 tend vers 0 quand x tend vers
0 + , donc f (0) = 0.
Pour alléger les notations, posons f λ (x) = x
1
λ
−1 si x > 0 et f λ (0) = 0.
Nous avons montré : si λ est une valeur propre de T telle que 0 < λ < 1 et
f un vecteur propre de T, alors il existe un réel k tel que f = k f λ .
Autrement dit, Ker( f − λ Id) ⊂ R f λ .
Réciproquement, T f λ = λ f λ ; on a donc Ker( f − λ Id) = R f λ . Comme
f λ = / 0, λ est bien valeur propre de T.
En résumé, étant donné un réel λ :
i) si λ 0 ou λ > 1, λ n'est pas valeur propre de T ;
ii) 1 est valeur propre de T et le sous-espace propre associé est R, l'espace
des fonctions constantes ;
iii) si 0 < λ < 1, λ est valeur propre de T et le sous-espace propre associé
est R f λ .
Exercice 2.3 : Étude d'un endomorphisme d'un espace d'endomorphismes
Soit E un K-espace vectoriel de dimension finie non nulle. Pour f ∈ L(E) on
définit :
f : L(E) → L(E),g → f ◦ g.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire