Par ailleurs, f (0) = λ f (0) d'où f (0) = 0. La fonction f est donc identiquement nulle.
Ainsi, Ker(T ) = {0}, ce qui montre que 0 n'est pas valeur propre de T.
Nous pouvons ensuite rapidement résoudre l'équation différentielle dans le cas
λ = / 0.
• Supposons λ = / 0. Alors f vérifie :
∀x ∈ R
∗
+ , f
(x) +
1 −
1
λ
1
x
f (x) = 0.
Ainsi, il existe un réel k tel que :
∀x ∈ R
∗
+ , f (x) = k x
1
λ
−1 .
Maintenant que l'on connaît la forme de f sur R ∗
+ nous pouvons étudier le problème
en 0. f est continue sur R + donc converge en 0 ; cependant, pour certaines valeurs
de λ, l'expression x
1
λ
−1 peut diverger quand x tend vers 0 : il faut donc distinguer
à nouveau des cas selon le comportement en 0 de cette fonction de x.
On sait que ce comportement dépend du signe de l'exposant de x, ce qui nous donne
trois cas à étudier. En soit, l'étude de chaque cas est simple puisqu'il s'agit de problèmes de limites de fonctions usuelles.
Il faut être prudent pour passer du signe de
1
λ
− 1 à une inégalité sur λ : en effet,
λ peut très bien être négatif et, dans ce cas, la multiplication par λ change le sens
de l'inégalité.
Plus précisément :
• si
1
λ
− 1 < 0 et λ > 0 alors 1 − λ < 0 donc λ > 1 ;
• si
1
λ
− 1 < 0 et λ < 0 alors 1 − λ > 0 donc λ < 1. Cependant, on a déjà supposé
λ < 0 donc cette nouvelle inégalité n'apporte pas de contrainte supplémentaire.
Ainsi : si
1
λ
− 1 < 0 alors λ < 0 ou λ > 1. Réciproquement, si λ < 0 ou λ > 1, on
vérifie aisément que
1
λ
− 1 < 0.
De même :
• si
1
λ
− 1 > 0 et λ > 0 alors 1 − λ > 0 donc λ < 1. Comme on a supposé ici
λ > 0 on a donc en fait 0 < λ < 1 ;
• si
1
λ
− 1 > 0 et λ < 0 alors 1 − λ < 0 donc λ > 1. Ceci est absurde : on ne peut
avoir à la fois λ < 0 et λ > 1.
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Chapitre 2 • Algèbre linéaire