X 2
4
+
Y 2
4
−
Z 2
2
= 1
C'est un hyperboloïde à une nappe.
2. Dans le nouveau repère, le plan x + y + z = 0 a pour équation Z = 0.
L'intersection de la surface et du plan a donc pour équations :
X 2 + Y 2 = 4
Z = 0
C'est un cercle de centre O et de rayon 2.
3. • Première méthode
La matrice de changement de base utilisée dans la première question pour
réduire l'équation de la quadrique est :
P =









1
√
2
1
√
6
1
√
3
−
1
√
2
1
√
6
1
√
3
0
−
2
√
6
1
√
3









Les points de la projection orthogonale de (C) sur le plan z = 0 vérifient
donc (en tenant compte de Z = 0) :

     
     
x =
X
√
2
+
Y
√
6
y = −
X
√
2
+
Y
√
6
z = 0
avec X
2
+ Y
2
= 4
On a donc : x − y = X
√
2 et x + y = Y
2
3
qui donne l'équation :
(x − y)
2
+ 3(x + y)
2
= 8 .
Dans le repère Ox y obtenu par rotation de −
π
4
on a x =
x − y
√
2
et
y =
x + y
√
2
et par conséquent l'équation réduite :
x
2
+ 3y
2
= 4 ⇐⇒
x 2
4
+
y 2
4
3
= 1 .
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces