C'est une ellipse de demi grand axe a = 2, de demi petit axe b =
2
√
3
, d'excentricité e =
c
a
=
√
a 2 − b 2
a
=
2
3
·
• Deuxième méthode
L'intersection (C) de (S) et du plan x + y + z = 0 a pour équations :
x y + yz + zx = −2
x + y + z = 0
⇐⇒
x y − (x + y) 2 = −2
z = −(x + y)
Sa projection orthogonale sur le plan Ox y a donc pour équation
x 2 + x y + y 2 = 2.
La matrice symétrique associée à cette conique est B =



1
1
2
1
2
1


.
Ses valeurs propres sont
1
2
et
3
2
· Une équation réduite est donc :
1
2
x
2
+
3
2
y
2
= 2 ⇐⇒
x 2
4
+
y 2
4
3
= 1 .
C'est une ellipse dont les paramètres ont été explicités dans la première
méthode.
© Dunod. La photocopie non autorisée est un délit.
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Chapitre 12 • Courbes et surfaces